- •Отношение эквивалентности
- •Свойства бинарных отношений
- •Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- •Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- •Элементы комбинаторики.
- •Свойства числа сочетаний
- •Определитель n-го порядка.
- •Разложение определителя по строке (столбцу).
- •Правило Крамера
- •Следствия из теоремы.
- •Решение матричных уравнений
- •Комплексные числа
- •Алгебраические операции над комплексными числами.
- •Линейные пространства
- •Линейная зависимость векторов .
- •Базис. Размерность.
- •Ранг матрицы
- •Матрица перехода
- •Система линейных уравнений
- •Теорема Кронекера - Капели
- •Система линейных однородных уравнений
- •Система однородных уравнений.
- •Линейные преобразования
- •Евклидово пространство
- •Свойства скалярного произведения
- •Процесс ортоганизации.
- •Векторная алгебра.
- •Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- •Двойное векторное произведение
- •Уравнение прямой и плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- •Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- •Расстояние от точки a до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Гипербола
- •Парабола
- •Поверхность второго порядка
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Конус второго порядка
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Математический анализ
- •Абсолютная величина u ее свойства
- •Последовательности.
- •Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Сходящиеся последовательности .
- •Монотонные последовательности.
- •Число е
- •Функция
- •Предел функции.
- •Непрерывные функции.
- •Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- •Разрыв первого рода (конечный скачок)
- •Разрыв второго рода.
Евклидово пространство
Определение: Линейное пространство Е называется евклидовым , если выполняются два требования :
1)В пространстве Е определена операция , ставящая в соответствие каждой паре элементов некоторое вещественное число – эта операция называется скалярным произведением .
2)скалярное произведение удовлетворяет следующим аксиомам.
1] коммутативность , симметричность .
2] дистрибутивность
3]
4] причем равенство достигается только в том случае , когда нулевой.
Отметим , что скалярное произведение в алгебре по способу определения отличаются от скалярного произведения в геометрии, где
В геометрии рассматривается пространство размерности не более 3-х и понятия длины вектора и угла между векторами вводится до определения скалярного произведения. В алгебре понятие скалярного произведения понимается как операция удовлетворяющая 4-м аксиомам, и только потом вводится понятие длинны вектора = и понятием угла cos ,и эти понятия распространяются на пространства любой размерности.
Свойства скалярного произведения
1) Неравенство Коши-Буняковского:
Для евклидового пространства имеет место соотношение:
(1) неравенство Коши-Буняковского.
Доказательство: Выражение .Согласно 4-у свойству скалярное произведение будет использоваться 1-е,2-е,3-е свойства. Преобразуем скалярное произведение:
-
A ,где А,В,С - некоторые числа.
Видим, что в левой части стоит квадратный трёхчлен, ветви которого направлены вверх, неравенство выполнится в том случае, если дискриминант квадратного трёхчлена
Возвращаясь к скалярному произведению, получим
Что и требовалось доказать.
2)Матрица Грамма.
Пусть - некоторый базис евклидова пространства E. Возьмём два произвольных вектора . Разложим вектора по базису.
Найдём представленное скалярное произведение векторов x,y в заданном базисе Е.
= согласно аксиоме о дистрибутивности ,получим =
Представим элемент столбца( ,воспользовавшись разложением вектора y по координатам, получим( =
Подставляя, найдем соотношение в скалярном произведении векторов ,определим в виде матричного соотношения:
=( (2)
Матрица стоящая в (2), называется матрицей Грамма. Исходя из , замечаем, что матрица Грамма симметрична относительно главной диагонали. Матрица Грамма составлена из скалярных произведений базисных векторов.
3)Изменение матрицы Грамма при переходе к новому базису.
Наряду со старым базисом , рассмотрим новый базис . Связь между базисами устанавливается с помощью матрицы перехода Т. = Т. Матрица перехода Т, позволяет установить связь между старыми и новыми координатами. (3)
Транспонируя соотношение для столбца Х. = (4). Подставляя выражения (3) и (4) во (2), получим: = (5)
Матрица Грамма в новом базисе равна: .
Определение: два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Из определения ортогональности следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Определение: система векторов называется ортогональной, если каждая пара этих векторов ортогональна между собой.
Теорема: ортогональная система не нулевых векторов, линейно независима.
Доказательство: пусть вектора ортогональны между собой, и нулевой вектор не содержится в этой системе векторов. Составим линейную комбинацию векторов и приравняем её к нулю.
(6)
Теорема будет доказана, если покажем что уравнение (6) имеет место только при нулевых коэффициентах, рассмотрим скалярное произведение вектора из заданной системы векторов на соотношение(6).
0 0 0
в силу ортогональности системы векторов, получаем , скалярный квадрат не равен нулю, следовательно .
В силу произвольности выбора , видим что все коэффициенты соотношения (6) равны нулю.
Теорема доказана.
Определение: вектор называется нормированным, если его скалярный квадрат равен единице, .
Система векторов называется ортонормированной, если все вектора этой системы нормированы и попарно ортогональны. В ортогональном базисе, матрица Грамма принимает наиболее простой вид.
i . Т.о. матрица Грамма в ортонормированном базисе.
G= единичная.
Пример: Пусть заданы в ортонормированном базисе
Найти скалярное произведение векторов(x;y).
x= y=
Решим задачу с помощью матрицы Грамма.
G= ( )=(111) ( )=(111)