- •Отношение эквивалентности
- •Свойства бинарных отношений
- •Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- •Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- •Элементы комбинаторики.
- •Свойства числа сочетаний
- •Определитель n-го порядка.
- •Разложение определителя по строке (столбцу).
- •Правило Крамера
- •Следствия из теоремы.
- •Решение матричных уравнений
- •Комплексные числа
- •Алгебраические операции над комплексными числами.
- •Линейные пространства
- •Линейная зависимость векторов .
- •Базис. Размерность.
- •Ранг матрицы
- •Матрица перехода
- •Система линейных уравнений
- •Теорема Кронекера - Капели
- •Система линейных однородных уравнений
- •Система однородных уравнений.
- •Линейные преобразования
- •Евклидово пространство
- •Свойства скалярного произведения
- •Процесс ортоганизации.
- •Векторная алгебра.
- •Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- •Двойное векторное произведение
- •Уравнение прямой и плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- •Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- •Расстояние от точки a до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Гипербола
- •Парабола
- •Поверхность второго порядка
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Конус второго порядка
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Математический анализ
- •Абсолютная величина u ее свойства
- •Последовательности.
- •Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Сходящиеся последовательности .
- •Монотонные последовательности.
- •Число е
- •Функция
- •Предел функции.
- •Непрерывные функции.
- •Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- •Разрыв первого рода (конечный скачок)
- •Разрыв второго рода.
Двуполостный гиперболоид
Будем вращать гиперболу относительно действительной оси:
Т огда уравнение поверхности вращения будет иметь вид:
Поверхность движения гиперболы вращения распадается на две непересекающиеся части. Сжав поверхность вращения гиперболы к плоскости y=0,получим поверхность, уравнение которой имеет вид: ,и называется двуполостной гиперболой.
Так же как и для однополосной гиперболы, для двуполостной гиперболы вводится понятие ассиметричная гипербола.
Эллиптический параболоид
Рассмотрим поверхность, получаемую при вращении параболы вокруг её оси симметрии. Уравнение параболы возьмём в виде: , в этом случае ось симметрии совпадает с осью z, в этом случае поверхность вращения будет иметь вид:
Сделав точки параболоида вращения в плоскость Y=0, получим поверхность уравнение которой имеет вид: . Соответственно поверхность называется эллиптическим параболоидом. Сечения этой поверхности x=const,(y=const)-будут являться параболами сечения плоскостями. z=const будут являться эллипсами.
Гиперболический параболоид
Определение: Поверхность, которая имеет в некоторой декартовой системе координат уравнение , называется гиперболическим параболоидом.
Сечение гиперболического параболоида x=const,(y=const), будут определять параболы сечения гиперболического параболоида, сечение z=const будут определять гиперболы. Поверхность гиперболического параболоида можно определить, заставив одну параболу двигаться по другой параболе, оси которых параллельны, а ветви направлены в противоположенные стороны.
Как и у однополостного, у гиперболического
параболоида существуют две системы.
Разложив левую часть системы (*) на
множители, получим:
.
И можно записать две системы в виде:
и
Математический анализ
Вещественные (действительные) числа
Начнём с изучения множества натуральных чисел N. Натуральными числами называются числа, которые используются при счёте (1, 2, 3, 4,.....).
Расположение натуральных чисел в порядке их возрастания называют натуральным рядом.
Натуральные числа можно сравнивать, складывать, умножать.
Известное высказывание немецкого математика Леопольда Кронекера(1823-1891): «Бог создал натуральное число, всё остальное – дело рук человека…»
Обобщение множества N – множество Z целых чисел. Z состоят из N чисел, нуля(0) и отрицательных чисел. Целые числа можно сравнивать, складывать, умножать и вычитать. На множестве целых чисел разрешимо уравнение
(2). Желание решить уравнение вида (3) привело к появлению множества рациональных чисел. Рациональным числом называют число, представленное в виде
Рациональные числа можно складывать, умножать, вычитать, делить на число, не равное нулю(≠0). Таким образом имеет место выражение
Для описания многих процессов, происходящих в природе, недостаточно множества рациональных чисел.
Древнегреческий философ Зином используя понятие бесконечности и находясь в рамках рациональных чисел, доказывал, что быстрому Ахиллесу не догнать медленную черепаху.
В начальный момент расстояние между Ахиллесом и черепахой равно S. Черепаха и Ахиллес двигаются в одном направлении.
Чтобы попасть в точку, где находится черепаха (точка Ч.), Ахиллесу необходимо время t1, равное , а за это время черепаха уползёт на расстояние .
Чтобы пройти расстояние S1, Ахиллесу потребуется время , а за это время черепаха уползёт на расстояние .
Этот цикл никогда не закончится и Зинам делает вывод, что Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Подобным образом Зинам доказывал, что движение вообще не возможно описать только с помощью рациональных чисел.
Другой пример, показывающий недостаток рациональных чисел.
Согласно теореме Пифагора диагональ квадрата с единичной стороной равна .
Длина диагонали единичного квадрата не может быть выражена рациональным числом. Для доказательства этого утверждения предположим противное:
(4) ,
причем m и n – взаимно простые числа, то есть дробь несократима.
Заметим, что каждое нечётное число в виде , где k – некоторое нечетное число. Возведя нечётное число в квадрат, получим .
В результате получим нечетное число.
Возведя уравнение (4) в квадрат получим:
число m должно быть чётным т.к. m и n взаимно просты, а число n должно быть нечетным. Представим четное число m в виде: m=2k
Подставим эту величину в (5) получим, то должно вытекать что n - чётное; получили противоречие доказывающее, что k не является рациональным числом.
Наиболее естественным процессом для расширения множества рациональных чисел явление десятичных дробей; каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, например .Таким образом, видим что рациональное число представима в виде бесконечно десятичной дроби. Известно, что бесконечная десятичная дробь выражает рациональное число тогда, когда она является периодической, т.е. с некоторого момента в десятичной записи числа, будет повторяться одинаковая группа цифр.
Зная представления рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби, всегда можно получить представление этого числа в виде отличающихся двух чисел.
6,083131(31) =6+0,08+0,0031+0,000031+0,00000031+…
Замечаем, что, отбросив два первых слагаемых, получим сумму геометрических прогрессов.
6,08+31(0,0001+0,000001)
Поставим в соответствие каждой точки М числовой оси, некоторую вполне определенную десятичную дробь. Выберем на числовой оси начало отсчёта точку М и единичный отрезок OE.
С помощью OE определим длину отрезка ОМ с точностью до единицы. Для этого выясним, сколько раз отрезок ОЕ укладывается в отрезок ОМ.
Пусть ОЕ укладывается в ОМ раз при этом могут возникнуть два случае:
В первом случае после измерения ОМ, остаётся длина отрезка NM, которая меньше выбранного масштаба в этом случае является результатом измерения ОМ.
По недостатку с точностью до единиц, во втором случае, целое число а0 может выражать длину всего отрезка ОМ. В этом случае отрезку ОМ можно поставить бесконечную десятичную дробь
Чтобы точнее измерить отрезок ОМ в первом случае, разбивают отрезок ОЕ на десять равных частей и рассматривают столько десятых частей ОЕ, сколько может уместиться в NM.
При этом также могут возникнуть Q случаев. Во втором случае величина отрезка ON будет определена . Переписав 000, получим бесконечную десятичную дробь.
В первом случае будет выражать длину ON по недостатку с точностью, повторяя аналогичные рассуждения, придём к двум возможностям:
а) процесс измерения оборвётся на n-ом шаге m N будет поставлена в соответствии будут поставлены рациональные числа .
б) описанный процесс никогда не оборвётся и мы получим последовательность рациональных чисел.
Элементарные последовательности представляют собой результат измерений по недостатку отрезка ОМ.
В этом случае m M вполне определенная бесконечная десятичная дробь
Из приведённого рассмотрения корень может быть представлен в виде бесконечной десятичной дроби.
Определение: Числа, представленные в виде десятичных дробей, принято называть действительными(вещественными) числами.
Множество вещественных чисел обозначают буквой R.
Приведённые расстояния показывают, что координатам R ставится в соответствии некоторый бесконечный процесс, называемый предельным переходом.
Для R операции сравнения, сложения, умножения. Вычитания и деления выводятся исходя из идей представления чисел рациональными числами с любой неопределённой заданной погрешностью. Например, суммой x вещественных чисел называют R x, которое для любых вещественных чисел , удовлетворяющих неравенству
, удовлетворяют неравенству , при этом .
В более полном курс математики доказывается, что подобным образом определённые операции удовлетворяют аксиомам справедливости рациональных чисел.
Множество R является полным, то есть нельзя построить более широкое множество с теми же правилами и свойствами.
Таким образом для числовых множеств справедливо
Множество R принято обозначать числа, входящие в это множество называются его элементами или точками.
Определение: Множество вещественных чисел {х} называется ограниченным сверху(снизу), если существуют такие вещественные числа что для всех элементов множества х будет выполняться неравенство . При этом числа называют верхней (нижней) гранью множества.
Определение: Наименьшая из всех верхних граней, ограниченного сверху множества х, называют точной верхней гранью этого множества и обозначают в виде
Supremum – наивысшее
Наибольшая из всех нижних граней, ограниченного снизу множества х, называют точкой нижней грани и обозначают в виде:
Infimum – наинизшее
Теорема: Если множество вещественных чисел R содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху(снизу), то у этого множества существует точки верхней(нижней) грань.
Определение: Интервал, где q>0 называется эпсилон-окресностью точки а.(q принимать за ε)