- •Отношение эквивалентности
- •Свойства бинарных отношений
- •Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- •Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- •Элементы комбинаторики.
- •Свойства числа сочетаний
- •Определитель n-го порядка.
- •Разложение определителя по строке (столбцу).
- •Правило Крамера
- •Следствия из теоремы.
- •Решение матричных уравнений
- •Комплексные числа
- •Алгебраические операции над комплексными числами.
- •Линейные пространства
- •Линейная зависимость векторов .
- •Базис. Размерность.
- •Ранг матрицы
- •Матрица перехода
- •Система линейных уравнений
- •Теорема Кронекера - Капели
- •Система линейных однородных уравнений
- •Система однородных уравнений.
- •Линейные преобразования
- •Евклидово пространство
- •Свойства скалярного произведения
- •Процесс ортоганизации.
- •Векторная алгебра.
- •Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- •Двойное векторное произведение
- •Уравнение прямой и плоскости
- •Уравнение плоскости
- •Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- •Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- •Расстояние от точки a до плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Гипербола
- •Парабола
- •Поверхность второго порядка
- •Поверхности вращения
- •Эллипсоид
- •Конус второго порядка
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Математический анализ
- •Абсолютная величина u ее свойства
- •Последовательности.
- •Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- •Сходящиеся последовательности .
- •Монотонные последовательности.
- •Число е
- •Функция
- •Предел функции.
- •Непрерывные функции.
- •Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- •Разрыв первого рода (конечный скачок)
- •Разрыв второго рода.
Эллипсоид
Рассмотрим поверхности вращения, получаемые от вращения эллипса вокруг оси симметрии.
Рассмотрим уравнение эллипса в виде:
, где а>с
С учетом формул (1) поверхность вращения эллипса вокруг малой оси будет иметь вид: (2)
Вращая эллипс вокруг большей оси, т.е рассматривая уравнение
получим поверхность вращения в виде
(2’’)
Первая поверхность называется сжатым эллипсоидом вращения:
Вторая поверхность дает нам вытянутый эллипсоид вращения:
Преобразуем поверхность 2, сжав каждую точку эллипсоида вращения к поверхности y=0,т.е. совершим преобразование
тогда получим поверхность, уравнение которой будет иметь вид
(3), где
Поверхность определяемая уравнением (3) называется эллипсоидом
Частным случаем эллипсоида, при a=b=c является поверхность сферы, уравнение которой имеет вид
Конус второго порядка
Рассмотрим на плоскости P пару пересекающихся прямых задаваемых в системе координат , уравнение . (4)
Вращая пару пересекающихся прямых (4) вокруг оси z(аппликат), получим поверхность вращения , уравнение которое имеет вид:
(5)
Поверхность (5) носит название прямого кругового конуса
Сжав точки поверхности конуса в плоскости y=0 , преобразование
Получим поверхность вида (6)
Поверхность заданная уравнением (6) называется конусом второго порядка или просто конусом .
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение (6), называется конусом или конусом второго порядка. Конус состоит из прямы линий, проходящих через начало координат. Сечение конуса плоскостью с уравнением при резке представляет собой эллипс.
Однополостный гиперболоид
Определение: Однополостный гиперболоид вращения это поверхность вращения гиперболы: . (7)
Из уравнения (7) видим , что ось z является мнимой осью гиперболы .Вращая гиперболу (7) вокруг оси z , согласно уравнению (1) получим поверхность уравнение которого будет иметь вид:
Сжав точки однополостного гиперболоида вращения к плоскости y=0 , получим поверхность уравнение которой будет иметь вид
(8)
Определение: Поверхность, определяемая уравнением (8) называется однополостным гиперболоидом.
С однополостным гиперболоидом связаны замечательные прямые , называемые образующими . Все точки образующей прямой лежат на поверхности однополостного гиперболоида .Через каждую точку однополостного гиперболоида проходит пара пересекающихся образующих .Уравнения образующих прямых можно получить выполнив следующие преобразования уравнением (8).
Перенесём в уравнение (8)переменную у, в правую часть ,в результате получим:
Используя формулу разности квадратов, последнее уравнение получается в виде:
(9)
Исходя из представлений (9),можем записать уравнение прямой, определяемое двумя пересекающимися плоскостями.
(10)
Каждая точка удовлетворяющая системе (10),удовлетворяет выражению (10), и следовательно, лежит на одной гиперболе. Вторую можно задать плоскостями, выбрав другую комбинацию строк:
(11)
Чтобы найти уравнение образующей прямой необходимо подставить координаты точек однополосной гиперболы в систему (10) или (11),и определить пару (М; , определённую с точностью до множителя. Если вместе с гиперболой вращать его асимптоты, то получим поверхность конуса, называемым асимптотическим конусом вращения. После сжатия однополосного гиперболоида вращения, асимптотический конус вращения превращается в асимптотический конус.