Глава 8. Теория кривых

§1. Вектор-функция скалярного аргумента;

Определение. Пусть E³ – евклидово пространство, U – некоторое множество на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на U задана вектор-функция, если каждой его точке A сопоставлен вектор f;\s\up9(–((A)  E³. Если U = I  R – некоторый интервал числовой прямой, то f;\s\up9(–(: I ^– E³ называется вектор-функцией скалярного аргумента.

Пусть t  I , а f;\s\up9(–((t)  E³ – его образ при отображении f;\s\up9(–(. В E³ выберем ОНБ {i, j, k}. Тогда вектор f;\s\up9(–((t) мы можем разложить по базису:

f;\s\up9(–((t)= f₁(t)i + f₂(t)j + f₃(t)k .

Таким образом, задание одной вектор-функции равносильно заданию трех обычных скалярных (обычных) функций f₁(t), f₂(t), f₃(t); f_i: R ^– R, i = 1, 2, 3.

Понятия предела, непрерывности и производной вводится аналогично таким же понятиям для обычных функций.

Определение. Пишем, что a;\s\up8(–( = lim;\s\do9( t –( tof;\s\up9(–((t) , если lim;\s\do9( t –( to|f;\s\up9(–((t) – a;\s\up8(–( | = 0 (здесь уже получается предел обычной функции). Это равносильно следующему:  > 0 : | t – t_o| <   |f;\s\up9(–((t)– a;\s\up8(–( | = . Говорим, что f;\s\up9(–((t) непрерывна при t = t_o, если lim;\s\do9( t –( tof;\s\up9(–((t) = f;\s\up9(–((t_о) ; f;\s\up9(–((t) непрерывна на интервале I , если она непрерывна  t  I .

Определение. Производная вектор-функции f;\s\up9(–(: I ^– E³ в точке t_o I определяется по формуле f;\s\up9(–( (t_о) =lim;\s\do9( t –( to . Если теперь t_o не фиксировать, то получим новую вектор-функцию f;\s\up9(–( : I ^– E³.

Примем без доказательства, что f;\s\up9(–( (t) = f₁^(t)i + f₂^(t)j + f₃^(t)k , т.е. вычислять производную вектор-функцию можно покоординатно.

Вектор-функцию f;\s\up9(–( (t) также можно дифференцировать. Получим вектор-функцию f;\s\up9(–( (t). Далее, естественным образом можем определить и производные высших порядков.

Определение. Говорим, что f;\s\up9(–((t) принадлежит классу Cⁿ(I), если у неё существуют все производные до порядка n включительно, и они непрерывны.

Определение. Вектор-функция f;\s\up9(–((t) называется регулярной на интервале I , если | f;\s\up9(–( (t) | > 0 ( f;\s\up9(–( (t)  o;\s\up8(–( )  t  I .

Пусть f;\s\up9(–((t) и g;\s\up9(–((t) – две вектор-функции, определенные на одном интервале. Тогда их скалярное произведение (f;\s\up9(–( · g;\s\up9(–( )(t) = f;\s\up9(–((t) · g;\s\up9(–((t) будет функцией и ее можно дифференцировать.

Упражнение. Самостоятельно докажите, что (f;\s\up9(–( · g;\s\up9(–( ) = f;\s\up9(–(  ·g;\s\up9(–( + f;\s\up9(–( ·g;\s\up9(–( .

Примем без доказательства, что аналогичная формула выполняется и для векторного произведения. Также для вектор-функции имеет место формула Тейлора:

f;\s\up9(–((t+t) = f;\s\up9(–((t) + tf;\s\up9(–( (t) + f;\s\up9(–( (t) +…+ (f;\s\up9(–( ⁽ⁿ⁾(t) + (t, t)),

гдеlim;\s\do9( (t –( 0(t, t) = o;\s\up8(–( .

Для вектор-функции также можно определить понятия первообразной, неопределенного и определенного интегралов.

В дальнейшем, стрелочку над обозначением вектор-функции ставить не будем.