§4. Группа преобразований плоскости Минковского.

Определение. Пусть в некотором базисе B = {e1;\s\up8(–( , e2;\s\up8(–( } на плоскости скалярное произведение векторов a;\s\up8(–((a₁, a₂) и b;\s\up9(–((b₁, b₂) задается формулой

a;\s\up8(–(·b;\s\up9(–( = a₁b₁ – a₂b₂. (8)

Тогда плоскость вместе с таким скалярным произведением векторов называется плоскостью Минковского.

Заметим, что по этой формуле e1;\s\up8(–( ² = 1, а e2;\s\up8(–( ² = –1, а для вектора x;\s\up8(–((1, 1) выполнено x;\s\up8(–( ²=0. Таким образом, на плоскости Минковского существуют ненулевые векторы, квадрат которых отрицателен или равен нулю.

Определение. Вектор x;\s\up8(–( называется пространственноподобным, если x;\s\up8(–( ²> 0, времениподобным, если x;\s\up8(–( ²< 0, и изотропным, если x;\s\up8(–( ²=0.

Условие изотропности вектора x;\s\up8(–((x₁, x₂) имеет вид:

x₁² – x₂² = 0.

Пусть l₁ и l₂ – прямые, которые задаются уравнениями

l₁: x₁ – x₂ = 0, l₂: x₁ + x₂ = 0.

Т огда все изотропные векторы коллинеарны этим прямым; а если отложить изотропный вектор из начала координат, то он будет лежать на одной из этих прямых.

Прямые l₁ и l₂ образуют две пары вертикальных углов. В одной из этих пар будут лежать времениподобные векторы, если отложить их от начала координат, а в другой – пространственноподобные.

Ортогональность векторов понимается так же, как и в евклидовом пространстве: x;\s\up8(–(y;\s\up8(–(  x;\s\up8(–(·y;\s\up8(–(= 0.

Определение. Движением плоскости Минковского называется её преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов.

Очевидно, что параллельные переносы и симметрии относительно координатных осей будут движениями плоскости Минковского. Преобразование, действующее по формуле

(9)

x₁= x₁ch t + x₂sh t,

x₂= x₁sh t + x₂ch t, tR,

назовем гиперболическим поворотом. Пусть вектор y;\s\up8(–((x₁, x₂) получен гиперболическим поворотом вектора x;\s\up8(–((x₁, x₂). Тогда

y;\s\up8(–( ² = (x₁ch t + x₂sh t)² – (x₁sh t + x₂ch t)²

= x₁²(ch²t – sh²t) – x₂(ch²t – sh²t) = x₁² – x₂² = x;\s\up8(–( ².

Таким образом, гиперболический поворот сохраняет скалярный квадрат вектора. Скалярное произведение векторов можно выразить через скалярный квадрат:

x;\s\up8(–(·y;\s\up8(–(= (( x;\s\up8(–(+y;\s\up8(–( )² – x;\s\up8(–( ² – y;\s\up8(–( ²).

Поэтому гиперболический поворот сохраняет скалярное произведение т.е. является движением плоскости Минковского.

Примем без доказательства, что произвольное движение плоскости Минковского является композицией гиперболического поворота, параллельного переноса и, возможно, симметрии относительно одной из координатных осей.

Из (9) следует, что при гиперболическом повороте базисные векторы e1;\s\up8(–( , e2;\s\up8(–( переходят в векторы e1(;\s\up8(–( (ch t, sh t)_B , e2(;\s\up8(–( (sh t, ch t)_B . Если отложить e1(;\s\up8(–( от начала координат и начать изменять t, то его конец опишет одну ветвь гиперболы. Аналогично, e2(;\s\up8(–( опишет одну ветвь сопряженной гиперболы. Прямые l₁ и l₂ являются общими асимптотами этих гипербол.

Все движения плоскости Минковского образуют группу, которая называется группой преобразований Лоренца. Один из вариантов её обозначения: E(1, 1).