16. Показательная функция

Как известно, при действительном имеем .

Аналогично определяем , если – комплексное.

Можно показать [5], что , .

(Здесь и ниже символ означает одно из значений аргумента ).

Таким образом, комплексная показательная функция с комплексным показателем определяется равенством

, (4.7)

так как

.

Свойства показательной функции.

1. Область определения показательной функции – все множество комплексных чисел, т.е. . Утверждение следует из того, что действительная функция определена при любом действительном , а действительные функции и определены при любом действительном , а поэтому формула (4.7) имеет смысл при любом комплексном .

2. ; .

Это свойство следует из формулы (4.7).

3. Показательная функция принимает любое комплексное значение, кроме нуля, т.е. множество значений (область значений) показательной функции

.

Показательная функция не принимает нулевого значения, так как

.

Покажем теперь, что показательная функция примет значение любого комплексного числа , т.е. покажем, что уравнение

(4.8)

разрешимо относительно при любом .

Представим в тригонометрической форме:

, (4.9)

где – одно из значений , например, пусть – главное значение .

Теперь на основании (4.7) и (4.9) уравнение (4.8) примет вид:

.

Отсюда , , ;

Итак, мы нашли решение уравнения (4.8) , (4.10) при любом .

Свойство доказано.

4. .

Пусть , .

Тогда . (4.11)

(Последнее равенство получено на основании формулы (4.7)) С другой стороны

. (4.12)

Из (4.11) и (4.12) имеем доказываемое утверждение

5. Показательная функция аналитична во всей комплексной плоскости и .

Из определения показательной функции имеем .

Следовательно, ;

; ;

; .

Частные производные непрерывны в каждой точке , так как для любых и непрерывны функции , , . Легко заметить также, что в любой точке комплексной плоскости выполняются условия Коши-Римана: ; .

Выполнение этих условий и непрерывность частных производных , , , во всей комплексной плоскости означает аналитичность показательной функции во всей комплексной плоскости. Для нахождения производной показательной функции воспользуемся формулой ;

.

6. Показательная функция непрерывна во всей комплексной плоскости. Непрерывность функции следует из её аналитичности. (Функция аналитическая во всей комплексной плоскости дифференцируема в каждой точке плоскости, а из дифференцируемости всегда следует непрерывность функции).

7. Показательная функция периодична с периодом равным .

В самом деле

.

Замечание. Любой другой период показательной функции имеет вид

, ,

т.е., если , (4.13) то , , .

Пусть имеем (4.13), тогда . Положим , тогда .

,

, , . (4.14)

Из (4.14) следует, что , тогда , , .

Что и требовалось доказать.

8 . Показательная функция однолистна во всякой открытой горизонтальной полосе ширины не больше .

Утверждение будет доказано, если мы покажем, что нарушение однолистности возможно лишь на границах указанной полосы, т.е. при

тогда и только тогда, когда , например, при и лежат па пересечении перпендикуляра с прямыми и , расстояние между которыми равно (рис.4.8).

Итак, пусть и . Тогда , где .

Но , как показано в предыдущем свойстве, всегда равно , т.е. . Итак, , , если , что и требовалось доказать.