- •1. Комплексные числа
- •2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и основных операций над ними
- •3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
- •4. Комплексной функции комплексного переменного
- •5. Действительная и мнимая части комплексной функции
- •6. Метризация комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел и их пределы
- •7. Предел комплексных функций
- •8.Непрерывность комплексных функций
- •9. Моногенность комплексных функций
- •10. Производная
- •11. Аналитические функции
- •12. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •13. Конформные отображения
- •14. Линейная функция
- •15. Степенная функция с натуральным показателем
- •16. Показательная функция
- •17. Отображения, осуществляемые показательной функцией
- •18. Тригонометрические функции комплексного переменного
- •19. Гиперболические функции комплексного переменного
- •20. Логарифмическая функция комплексного переменного
- •21. Обратные тригонометрические функции
- •22. Интегрирование комплексных функций
- •Если интегрирование по замкнутой кривой проводится в направлении противоположном рассматриваемому ("по часовой стрелке") , то для обозначения интеграла употребляют символы.
- •23. Теорема Коши для односвязной области
- •24. Первообразная. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для комплексных функций
- •25. Теорема Коши для многосвязной области
- •26. Формула Коши
- •27. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции
- •28. Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры
- •30. Числовые комплексные ряды
- •31. Функциональные комплексные ряды
- •32. Степенные комплексные ряды
- •33. Разложение аналитической функции в степенной ряд Тейлора
4. Комплексной функции комплексного переменного
Определение 2.1
Функция называется комплексной функцией комплексного переменного, если область определения и множество значений функции f есть некоторые множества комплексных чисел.
Пример 1.
, n — натуральное.
Для обозначения комплексной функции в дальнейшем будем применять символ ( — независимая переменная; — зависимая переменная). Область определения этой функции — все множество комплексных чисел, так как любое комплексное число можно возвести в п-ую степень. Кроме этого, легко показать, что функция принимает любое комплексное значение , что равносильно утверждению: уравнение разрешимо относительно при любом комплексном . Пусть , , где , , , , тогда
Из последнего равенства имеем:
Отсюда имеем
.
, .
Итак, решения уравнения найдены при любом комплексном и эти решения определяются формулой
, ,
.
При решение уравнения очевидно: .
Р ассмотрим две комплексные плоскости (рис. 2.1). Первую плоскость будем обозначать символом , а вторую — .. Комплексные числа, соответствующие точкам плоскости будем обозначать так , a комплексные числа, соответствующие точкам плоскости , обозначим следующим образом
.
И зобразим на комплексной плоскости область определения функции f — множество , а на комплексной плоскости изобразим множество значений этой функции — множество . Тогда, очевидно, каждой точке функция f ставит в соответствие единственную точку . Отсюда следует, что все множество точек множества плоскости комплексная функция f отображает на множестве точек комплексной плоскости .
В этом состоит геометрический смысл комплексной функции комплексного переменного. Функцию будем называть отображением, множество называют образом множества при отображении до , а множество — прообразом множества при этом отображении.
Р ассмотрим некоторое подмножество множества и построим на плоскости множество точек
Множество называется образом множества при отображении , а множество — прообразом при этом отображении.
П ример 2.
Найти образ 1-го координатного угла комплексной плоскости при отображении .
Решение.
Найдем предварительно образ луча при отображении (рис. 2.2). Представим число z в показательней форме , тогда
, .
Е сли рассматривать z как любую точку луча плоскости ,то мы видим, что если луч Oz образует с осью Ох угол , то его образ-луч на плоскости образует с осью угол равный . Пусть теперь угол изменяется от нуля до , тогда луч Oz описывает ("заметает") первый координатный угол на плоскости , а его образ-луч опишет верхнюю полуплоскость плоскости , так как при изменении от до , изменяется от 0 до , где одно из значений аргумента z, a — одно из значений аргумента . Следовательно, образом первого координатного угла плоскости при отображении является верхняя полуплоскость плоскости .