5.Базис линейного пространства, теоремы, размеренность линейного пространства. Базис системы векторов, ранг системы векторов.

Пусть X — линейное пространство.

Определение. Если существует натуральное число n такое, что X содержит линейно независимую систему из n векторов, а любая система из n + 1 вектора линейно зависима, то X называется n –мерным линейным пространством, а число n – его размерностью.

Будем обозначать n –мерное линейное пространство Xn , где n = dim Xn — размерность пространства Xn .

Из определения следует, что размерность линейного пространства равна максимальному количеству линейно независимых векторов.

Замечания.

1.Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

2.Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным.

Определение. Система линейно независимых векторов векторного пространства называется базисом этого пространства, если любой вектор из может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора существуют вещественные числа такие, что имеет место равенство

.

Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа называются координатами вектора относительно базиса (или в базисе) .

Коэффициенты α1, α2, … , αn в разложении вектора по данному базису определяются однозначно.

Замечания.

1. В линейном пространстве существует бесчисленное множество базисов.

2. В бесконечномерном пространстве всегда существует базис. Он содержит бесконечное множество векторов.

3. Любая упорядоченная линейно независимая система из n векторов в n–мерном пространстве является базисом.

Теорема. Пусть Xn — линейное пространство и e1, e2, … , en — некоторый базис в Xn . Тогда:

При сложении векторов их координаты складываются.

При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Утверждения теоремы в наших обозначениях выглядят следующим образом:

бei, x + yс = бei, xс + бei, yс ;

бei, αxс = αбei, xс .

Это означает, что скобки б · , · с обладают свойством линейности по второму аргументу.

6. Скалярное произведение в r n и с n ,его основные свойства. Длина (норма) вектора.

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C; .

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

х*у= def

(х,у) = x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n

Св-ва:

1. (х,у)=(у,х) – коммутативная

2. (х+х;у)=(х;у)+(х’;у) 3.1.) (λх+ λ’х’;y)= λ(x;y)+ λ’(x’;y)

3. (λх; у)= λ(х;у)

4. (x;x)>=0, причём (х;х)=0  х=0 неотрицательность и невырожденность

Опр-е: Норма (модуль, длина) вектора ||х||²-(х;х) ||х||=√(х₁²+х²₂+…+х²_n)

7. Неравенство Коши–Буняковского, неравенство треугольника.

Неравенство треугольника

|x+y|<=|x|+|y|

8. Угол между векторами в R ⁿ . Ортогональность.

9. Ортогонализация системы векторов.

10. Ортогональное дополнение Р┴ подпространства Р. Связь размеренности Р┴ и Р.

Рассмотрим некоторое подмножество X1 линейного пространства X , т.е. X1 Н X .

Определение. Подмножество X1 линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых векторов x, y О X1 и любого числа a:

x+y О X1 ; “О” - значок изоморфности

a*x О X1 .

Рассмотрим два линейных подпространства X1 и X2 линейного пространства X .

Определение. Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы;

обозначаем dim L=k.