15. Строчечный и столбовой ранги системы. Теорема Кронкера-Капелли.

Минором матрицы порядка r называется определеитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении любых r строк и r столбцов матрицы.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Т.е. если у матрицы порядка (m, n) есть отличный от нуля минор порядка r, r≤ min(m, n), а все миноры более высоких порядков равны нулю, то r — ранг матрицы.

Строки и столбцы матрицы, рассматриваемые как элементы (векторы) соответствующих пространств арифметических векторов обладают всеми свойствами арифметических векторов, для них определены понятия линейной зависимости и линейной независимости и справедливы все, утверждения для линейно зависимых и линейно независимых систем векторов линейного пространства.

Строчечный ранг матрицы - максимальное число л. Н. строк матрицы. Столбцовый ранг м-цы - максимальное число л. Н. столбцов матрицы.

Ранг системы векторов совпадает с линейной оболочкой.

Теорема. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда столбцовый ранг основной матрицы системы совпадает со столбцовым рангом расширенной системы.

Доказательство. Пусть А=[a1¯…an¯]. Система Ax¯=b¯совместна тогда и только тогда, когда b¯€ F(a1¯,…,an¯).

1. b¯€ F(a1¯,…,an¯)=> F(a1¯,…,an¯)= F(a1¯,…,an¯b¯)=>dim F(a1¯,…,an¯)=dim F(a1¯,…,an¯b¯)=>rangA=rangA¯.

b) b¯не принадлежит F(a1¯,…,an¯).=> F(a1¯,…,an¯) ≠ F(a1¯,…,an¯b¯). Так как пространство F(a1¯,…,an¯).является подпространством пространства F(a1¯,…,an¯b¯), но не совпадает сним, то его размерность строго меньше размерности пространства F(a1¯,…,an¯b¯), согласно тому что Если L – подпространство кнечномерного векторного пространства V, то Lтакже конечномерно, dimL=<dimV и L=VdimL=dimV, следовательно rangA< rangA¯. чтд

dim – диаметр

rang - ранг

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор (Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.Определение. В матрице порядка mn минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.). Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

16. Теорема о равенстве строчного и столбового равенства матрицы.

Строчный ранг матрицы совпадает со столбцовым, т.е. rang стрA=rang столбА.

Доказательство.

Rang столб – максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.

Ax=0 rang стр=r. Столбцы, в которых стоят ведущие элементы линейно независимы.

r столб. A>=r стр. А предположим, что r стб>r стр.; r+1 – линейно независимых столбиков есть ненулевой набор

Л1[ ]+Л2 [ ]+….= [ ]