19. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

Из определения обратной матрицы A · A ^{− 1} = E следует, что для вычисления матрицы, обратной квадратной матрице n –го порядка A , нужно решить матричное уравнение: A · X = E, где X — неизвестная обратная матрица. Это матричное уравнение эквивалентно n системам n линейных уравнений n–го порядка с одной и той же основной матрицей системы A , но разными столбцами свободных членов, а именно, столбцами единичной матрицы. Поэтому решать все эти системы методом Гаусса удобно одновременно. Таким образом, для вычисления обратной матрицы методом Гаусса: 1) Дописываем единичную матрицу E к матрице A (для удобства отделяя ее чертой).2) С помощью элементарных преобразований строк преобразуем матрицу A к единичной. Тогда на месте единичной матрицы окажется искомая обратная матрица: ( A | E)  ~   …   ~  ( E | A ^{− 1} ) . Если матрица A не может быть приведена к единичной, то это означает, что она вырожденная и, следовательно, не имеет обратной (следовательно, можно не проверять заранее, что опр. A ≠ 0 ).

20. Определители и их основные свойства.

Пусть A = (a_ij) (i, j = 1, …, n) — квадратная матрица порядка n. Опр-ль матрицы A - число, кот. ставится в соотв-е этой матрице и может быть вычислено по ее элементам.Св-ва опр-ля. 1) Если одна из строк опр-ля сост. из 0, то опр-ль=0. Док.: пусть все Эл-ты 1-й строки-нули. В каждый член опр-ля должен войти множит-м один эл-т из этой строки => все члены опр-ля =0.2) Если один опр. получен из другого перестановкой 2-х строк, то все члены 1-го опр. будут членами и 2-го, но с противопол-и знаками. Д: пусть в опр. переставляются местами k-я и m-я строки, а все остал. остаются на месте. Общий вид члена опр. (1): a₁₁ a_12… a_1n. Но его же можно рассматривать как общий вид слагаемого и в новом опр., т.к. все его множители в нов. опр. ост-ся в разных строках и разн. столбцах. =>нов. опр. будет сост. из тех же членов. Напр., эл-т a_kik стоит теперь в m-й стр., но остаётся в старом i_k-м столбце. Это получ-я путём одной транспозиции в верхнеё строке, т.е. получ=я противопол. чётность =>все члены опр-й с переест-ми стр. отлич. лишь знаком. 3)Опр., содерж-й 2-е одинак-х строки=0. Д: поменяем местами одинаковые строки опрD, от этого он не изменится. Но по предыдущему св-ву опр. должен поменять знак=>D=-D, откуда D=0.4)Если все эл-ты некоторой строки опр. умнож. на одно и то же число k, то сам опр. умн-ся на k. Д: пусть на k умн-ны все эл-ты i-ой строки. Каждый член опр. содерж. ровно 1 эл-т из i-й строки => всякий член приобретёт множ-ль k, т.е. сам опр. умнож-ся на k.5)Опр., содерж. 2 пропорц-х строки=0. Д: пусть эл-ты i-й строки опр. отличаются от Эл-тов j-й стр.(i≠j) одним и тем же множ-м k Вынося k из i-й стр. за знак опр., получим опр. с 2-мя одинаковыми стр.=0 по св-ву 3. 6)Если все эл-ты опр. n-го порядка i-й стр. предст-ы в виде ∑ 2-х слагаемых a_ij=b_j+c_j, j=1,…,n, то опр.=∑2-х опр., у кот. все стр., кроме i-й такие же, а i-я стр. в одном из слаг-х сост. из эл-в b_j , в другом-c_j. Д: каждый чл. Можно представ. в виде a_1k1a_2k2… b_k1… a_n1n+ a_1k1a_2k2…c_ki …a_nin. Собирая вместе первые слагаемые этих сумм, получ. Опр. n-го пор-ка, в кот. в i-й стр. вместо эл-тов a_ij стоят эл-ты b_j. Соответст. Вторые слаг. сост. опр. с эл-ми c_j, в i-й строке. 7)Опр. не измен. если к эл. одной из его строк прибав. соотв. эл. др. строки, умн. на одно и то же число. Д: Если к i-й стр. опр. прибавл. j-ая, j≠i, умн. на к, то в новом опр. всякий эл. i-й стр. имеет вид a_is+ka_js, s=1,..,n. Тогда по св.7 этот опр. = ∑ двух опр., из которых первый-D, а второй содерж. 2 пропорц. стр. и поэтому =0. 8) Опр. Матрицы не меняется при её транспонир-и. Д: есть опр.D и опр. транспон. матр.D_1. Кажд. член D с точн-ю до знака имеет вид (1). Все сомнож. (1) и в D₁ остаются в разн. столбцах и стр.=>это общий вид члена для D_1. Верно и обр-ое=>D иD₁ сост. из одних и тех же чл. Один-я чётность=>один. знаки

20. Определители и их основные свойства(второй вариант).

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det A^T;

Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B.

Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁  d₂ , e = e₁  e₂ , f = f₁  f₂ , то верно: