24.Разложение определителей по строке, по столбцу.
(аналогично
разложение по столбцам) Определитель
равен сумме произведений элементов
какой-либо строки на их алгебраические
дополнения (
).каждый
определитель равен сумме произведения
элементов любой его строки(столбца) на
их алгеброические дополнения.
,
где каждый элемент i-й строки имеет n
слагаемых. Теперь воспользуемся свойством
линейности. Определитель равен сумме
следующих n определителей:
.
.
.
каждом из них вынесем в качестве множителя ненулевой элемент aik i-й строки; останется Aik.
Поэтому каждый из них равен aik Aik. Так что ai1Ai1 + ... + aikAik + ... + ainAin.
25.Обратная матрица, способы ее вычисления (с помощью элементарных преобразований и по правилу Крамера). Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E, где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково. Обратная матрица для данной единственна Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений Пусть дана матрица n-го порядка (A). (A*) составлена из алгебр. дополнений к элементам матрицы A
.
Вычисление
обратной матрицы с помощью элементарных
преобразований .Назовем
элементарным
преобразованием
над строками матрицы одно из действий: а)
умножение всех элементов данной строки
на одно и то же число k;
б) прибавление
к каждому элементу данной строки с
номером i соответствующего элемента,
умноженного на число k, из строки с
номером j. Получить из матрицы A
матрицу A’ можно также умножением A
слева на матрицу B’ т.е. элементарное
преобразование, отвечающее действию
б), равносильно умножению слева матрицы
A на матрицу, получаемую из единичной с
помощью тех
же действий.
Итак, выполнение
элементарных преобразований над матрицей
A сводится
к умножению на
A слева
матрицы, получаемой из единичной с
помощью тех же преобразований.
26. Формула Крамера для корней линейной системы уравнений.
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A 0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = i/, где
= det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
i
=
Пример.
A =
;
1=
;
2=
;
3=
;
x1 = 1/detA; x2 = 2/detA; x3 = 3/detA;