1.3. Распределение молекул газа, находящегося в состоянии равновесия, по направлениям движения

Рассмотрим газ, находящийся в состоянии равновесия. При этом он занимает объем V и содержит N молекул. При отсутствии внешних сил молекулы газа распределяются равномерно по объему V и движутся хаотически, не имея преимущественного направления. Если провести сферу радиусом R вокруг объема V и в произвольный момент времени продолжить направления скоростей движения всех молекул до пересечения с этой сферой, то вся сфера покроется точками в местах этих пересечений. Причем из-за отсутствия преимущественного направления в движении молекул (равновесие) поверхностная плотность этих точек  = N/4R² будет постоянна по всей сфере в любой момент времени.

Выберем на сфере произвольную элементарную площадку dS. Тогда количество точек, оказавшихся на этой площадке

dN = NdS /4R²= Nd/4, (1.3.1)

где d=dS/R² – телесный угол, под которым видна площадка из центра сферы. (Полный телесный угол, стягиваемый сферой

 = ∫ d = ∫ dS/R² =4R²/R²=4).

Соотношение (1.3.1) можно представить в виде

dN / N = d /4. (1.3.2)

Левая часть равенства (1.3.2) представляет собой отношение числа молекул dN, направления скоростей которых заключены в телесном угле d, к общему числу молекул и при большом N равна вероятности того, что взятая наугад молекула в газе имеет направление скорости, заключенное в телесном угле d. Формула (1.3.2) выражает закон равновероятности направлений движения молекул в равновесном состоянии газа^.

Р и с. 8

Найдем дифференциал площади dS в сферической системе координат. Для этого проведем через ось Z (рис. 8) две бесконечно близкие плоскости под углами  и  + d к плоскости XOZ. Они пересекут сферу по окружностям O΄BO΄΄ и O΄CO΄΄ радиуса R. Далее проведем два конуса с углами 2 и 2(+d) при вершине O , которые пересекут сферу по окружностям С΄СС΄΄и В΄DВ΄΄. В результате пересечения четырех указанных окружностей получается элемент сферы, (на рис. 8 заштрихован) площадь которого

dS = BC·BD, (1.3.3)

где BC = ABd = R sin d, BD = R d.

Подставляя последние величины в формулу (1.3.3), получим выражение для бесконечно малой площади в сферической системе координат:

dS = R²sin d d. (1.3.4)

Из выражений (1.3.4) и (1.3.1) находим число частиц, которые имеют направления, определяемые сферическими углами, лежащими в интервалах от  до  + d и от  до  + d:

dN_, = N sin d d /4. (1.3.5)

Если разделить обе части соотноше­ния (1.3.5) на объем V, занимаемый газом, то получим

dn_, = n sin d d /4, (1.3.6)

где dn_, = dN_, /V – число молекул в единице объема, которые имеют направления вектора скорости близкое к направлению, определяемому углами  и  , n = N/V – число молекул в единице объема с любыми направлениями движения.

Пример

1. В некотором сферическом объеме газ находится в равновесии и содержит N = 2,7·10²⁵ молекул. Построим конус с вершиной в центре этой сферы и углом раствора в один стерадиан. Какое число N₁ моле­кул из общего числа N имеют направления скоростей, заключенных в этом пространственном угле?

Решение: Из формулы (1.3.2), путем интегрирования находим искомое число