- •Глава 1. Основы молекулярно – кинетической теории идеального газа
- •1.1. Модель идеального газа
- •1.2. Равновесные состояния и процессы
- •1.3. Распределение молекул газа, находящегося в состоянии равновесия, по направлениям движения
- •1.4. Число ударов молекул о стенку сосуда
- •1.5. Основное уравнение кинетической теории газов для давления
- •1.6. Температура и ее измерение. Опытные температурные шкалы
- •1.7. Идеально – газовая шкала температур
- •1.8. Температура – мера средней кинетической энергии поступательного движения молекул
- •1.9. Уравнение Менделеева – Клапейрона. Следствия из этого уравнения
- •Примеры
- •1.10. Распределение Максвелла
- •1.11. Свойства распределения Максвелла
- •1.12. Распределение Максвелла для относительных скоростей
- •1.13 Распределение Больцмана
- •1.14. Распределение Максвелла – Больцмана
- •1.15. Экспериментальная проверка распределения молекул по абсолютным значениям скорости
- •Примеры
- •1.16. Флуктуации. Теорема об относительной флуктуации
- •1.17. Распределение энергии по степеням свободы молекул
1.5. Основное уравнение кинетической теории газов для давления
Рассмотрим N молекул газа находящихся в состоянии равновесия в сосуде объема V, при этом их концентрация n = N/V. Давление газа определяется суммой нормальных составляющих всех сил, с которыми действуют отдельные молекулы на единичную площадь стенки.
Р и с. 10
Для вычисления этого давления возьмем на стенке сосуда площадку dS и направим ось Z перпендикулярно ей, так что эта площадка будет лежать в плоскости XOY, перпендикулярной плоскости рис. 10. Пусть некоторая молекула падает на площадку dS под углом θ к оси Z. При упругом ударе молекула зеркально (θ1= θ2) отразится от площадки dS, сохраняя величину скорости υ неизменной (υ1 = υ2 = υ). При этом изменение импульса молекулы
(1.5.1)
где m0 – масса молекулы, – единичные векторы координатных осей.
Из выражения (1.5.1) видно, что вектор изменения импульса молекулы перпендикулярен площадке dS и по второму закону Ньютона равен импульсу силы, действующей со стороны стенки на молекулу, т. е.
(1.5.2)
По третьему закону Ньютона сила , действующая со стороны стенки на молекулу, равна по величине и противоположна по направлению силе – , с которой молекула действует на стенку. С учетом этого равенство (1.5.2) примет вид
(1.5.3)
Чтобы найти число молекул, ударяющихся о площадку dS за время dt под углами от θ до θ + dθ и имеющих скорости от υ до υ + dυ, необходимо проинтегрировать соотношение (1.4.4) предыдущего параграфа по всем возможным углам φ (от φ = 0 до φ = 2π), т. е.
(1.5.4)
Эти молекулы сообщают площадке dS за время dt импульс силы
(1.5.5)
Подставляя сюда из выражений (1.5.3) и (1.5.4) величины и , имеем
. (1.5.6)
Чтобы учесть все молекулы, ударяющиеся о площадку dS с различными скоростями υ и под различными углами θ, необходимо последнее соотношение проинтегрировать по υ от нуля до υmax и по θ от нуля до π/2, т. е.
(1.5.7)
Разделив обе части равенства (1.5.7) на площадь dS, получим выражение для давления, производимого газом на стенку сосуда:
(1.5.8)
Вводя в правую часть выражения (1.5.8) постоянную величину, равную концентрации n молекул в сосуде, получим
(1.5.9)
где ρ = m0n – плотность газа, а – средний квадрат скорости молекулы газа (см. A.29 приложения А). Формуле (1.5.9) можно придать следующий вид:
(1.5.10)
где – кинетическая энергия поступательного движения молекулы, среднее значение которой
(1.5.11)
Функция распределения по кинетическим энергиям связана с функцией по скоростям молекул соотношением (см. A.71 прил. А)
(1.5.12)
Таким образом, давление (1.5.10), создаваемое молекулами газа, равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения всех молекул, имеющихся в единичном объеме.
Как видно из выражений (1.5.9)–(1.5.11), давление P зависит от вида функции распределения (или ).
Нахождение функций распределения равновесных (и неравновесных) состояний системы частиц является основной задачей статистической физики. Явный вид функции для равновесного состояния газа будет найден в дальнейшем.