Метрика Шварцшильда

Единственным решением уравнений Эйнштейна (без космологической постоянной) для внешнего гравитационного поля сферически-симметрично распределённой материи (энергии-импульса) является метрика Шварцшильда (4)

(4)

где

c — скорость света в метрах в секунду,

t — временная координата в секундах (совпадающая со временем, отсчитываемым бесконечно удалёнными неподвижными часами),

r — радиальная координата в метрах (определяемая как длина окружности — с центром в точке симметрии — делить на 2π),

θ и φ — углы в системе сферических координат в радианах,

r_s — радиус Шварцшильда (в метрах), характеризующий тело массой M и равный

где G — гравитационная постоянная

Классическая теория гравитации Ньютона является предельным случаем при малых r_s/r. На практике это отношение почти всегда очень маленькое. Например, для Земли радиус Шварцшильда равен примерно 9 миллиметрам, в то время как спутник на геостационарной орбите находится на км. Для Солнечной системы это отношение не превосходит 2 миллионных, и только для областей вблизи от чёрных дыр и нейтронных звёзд оно становится существенно большим (до нескольких десятых).

Уравнения геодезических

В соответствии с общей теорией относительности, частицы пренебрежимо малой массы движутся по геодезическим линиям пространства-времени. В не искривлённом пространстве вдалеке от любых притягивающих тел эти геодезические представляют собой прямые линии. В присутствии источников гравитации это уже не так, и уравнения геодезических записываются так:

(5):

где Γ — символы Кристоффеля, а переменная q параметризует путь частицы сквозь пространство-время — её мировую линию, и называется каноническим параметром геодезической линии. Символы Кристоффеля зависят только от метрического тензора g_μν, точнее от того, как он его меняется от точки к точке. Для времениподобных геодезических, по которым движутся массивные частицы, параметр q совпадает с собственным временем τ с точностью до постоянного множителя, который обычно берут равным 1. Для светоподобных мировых линий безмассовых частиц (таких как фотоны) параметр q нельзя взять равным собственному времени, так как оно равно нулю, но форма геодезических всё равно описывается этим уравнением. Кроме того, светоподобные геодезические могут быть получены как предельный случай времениподобных при стремлении массы частицы к 0 (если сохранять постоянной энергию частицы).

Можно упростить проблему, используя симметрию задачи — так мы исключим из рассмотрения одну переменную. В любом сферически-симметричном случае движение происходит в плоскости, которую можно выбрать за плоскость θ = π/2. Метрика в этой плоскости имеет вид

(6)