Из уравнений Лагранжа

В общей теории относительности свободные частицы с пренебрежимо малой массой m, подчиняясь принципу эквивалентности, двигаются по геодезическим в пространстве-времени, создаваемом тяготеющими массами. Геодезические пространства-времени определяются как кривые, малые вариации которых — при фиксированных начальной и конечной точках — не изменяют их длину s. Это можно выразить математически с помощью вариационного исчисления (22)

(22)

где τ — собственное время, s=cτ — длина в пространстве-времени, и величина T определена как

по аналогии с кинетической энергией. Если производную по собственному времени для краткости обозначить точкой

то T можно записать в виде (23)

(23)

Постоянные величины, такие как c или корень квадратный из двух, не влияют на ответ вариационной задачи, и таким образом, перенося вариацию под интеграл, приходим к вариационному принципу Гамильтона

Решение вариационной задачи даётся уравнениями Лагранжа

Когда они применяются к t и φ, эти уравнения приводят к существованию сохраняющихся величин

что можно переписать как уравнения для L и E (24), (25)

(24)

(25)

Как показано выше, подстановка этих уравнений в определение метрики Шварцшильда приводит к уравнению орбит.

Из принципа Гамильтона

Интеграл действия для частицы в гравитационном поле имеет вид (26)

(26)

где τ — собственное время и q — гладкая параметризация мировой линии частицы. Если применить вариационное исчисление, то из этого выражения немедленно следуют уравнения для геодезических. Вычисления можно упростить, если взять вариацию от квадрата подынтегрального выражения. В поле Шварцшильда этот квадрат равен

Посчитав вариацию, получим

Взяв вариацию только по долготе φ

поделим на  , чтобы получить вариацию подынтегрального выражения

Таким образом

и интегрирование по частям приводит к (27)

(27)

Вариация по долготе исчезает в граничных точках и первое слагаемое зануляется. Интеграл можно сделать равным нулю при произвольном выборе δφ только если другие множители под интегралом всегда равны нулю. Таким образом мы приходим к уравнению движения

При вариации по времени t получим

что после деления на   даёт вариацию подынтегрального выражения

Отсюда

и снова интегрирование по частям приводит к выражению

из которого следует уравнение движения (28)

(28)

Если проинтегрировать эти уравнения движения и определить постоянные интегрирования, мы снова придём к уравнениям

Эти два уравнения для интегралов движения L и E можно совместить в одно (29), которое будет работать даже для фотона и других без массовых частиц, для которых собственное время вдоль геодезической равно нулю:

(29)

Глава 3. Постньютоновские подходы

Так как в реальных задачах приближение пробного тела иногда имеет недостаточную точность, то существуют уточняющие его подходы, одним из которых является применение постньютоновского формализма (ПН-формализма), развитого в трудах Эддингтона, Фока, Дамура и других учёных-релятивистов. Несколько утрируя, можно сказать, что в этом подходе происходит разложение уравнений движения тел, получаемых из уравнений Эйнштейна, в ряды по малому ПН-параметру 1 / c², и учёт членов лишь до определённой степени этого параметра. Уже применение 2,5ПН уровня (1 / c⁵) приводит к предсказанию гравитационного излучения и соответствующего уменьшения периода обращения гравитационно связанной системы. Поправки более высокого порядка также проявляются в движении объектов, например, двойных пульсаров. Движение планет и их спутников, астероидов, а также космических аппаратов в Солнечной системе сейчас рассчитывается в первом ПН-приближении.