7. Биматричные игры 2х2 и их решение.

Описываемая далее схема анализа 2 x 2-биматричных игр формаль­но является частным случаем рассуждений способа описания ситуаций равновесия, и множество всех ситуаций равновесия в такой игре можно описать на осно­вании формулы . Однако, как это нередко бывает, в частном случае 2 x 2 –биматричных игр представляется целесообразным не пользоваться окончательной формулой,- выведенной для общего случая, а проводить каждый раз все приведшие к ней рассуждения применительно к конкретной рассматриваемой игре.

Мы будем рассматривать 2 X 2-биматричную игру с матрицами выигрышей

(10)

соответственно игроков 1 и 2. Как и в случае 2 х 2-матричных игр, смешан­ные стратегии X и Y игроков полностью описываются вероятностями ξ и η выбора ими своих первых чистых стратегий (вторые чистые стратегии выбираются, очевидно, с вероятностями 1 — ξ и 1 —η). Поэтому ввиду 0≤ξ , η≤1 каждая ситуация в смешанных стратегиях в 2 х 2-биматричной игре геометрически представляется как точка на единичном квадрате (ситуации в чистых стратегиях суть вершины этого квадрата) .

Как и в случае матричных игр, мы опишем порознь множества приемле­мых ситуаций для каждого из игроков, изобразим эти множества геометри­чески на единичном квадрате ситуаций, а затем найдем их пересечение.

Начнем с описания ситуаций, приемлемых в игре Г (А, В) для игрока 1.

Приемлемость ситуации (X, Y) для игрока 1 в игре Г (А, В) означает, что

A₁ Y^T ≤ XAY^T (11)

A₂Y^T ≤ XAY^T. (12)

Подчеркнем, что эти условия приемлемости никак не связаны с матрицей В выигрышей игрока 2. Поэтому они будут одинаковыми для всех биматрич­ных игр с одной и той же матрицей выигрышей игрока 1; в частности, они совпадают с аналогичными условиями для случая матричной игры Г_А. Поэтому и множество ситуаций, приемлемых для игрока 1 в игре Г (А, В), будет совпадать с множеством приемлемых для него ситуаций в игре Г_А.

Множество ζ₁(Г) всех приемлемых для игрока 1ситуаций в игре Г_А (а тем самым и в игре Г (А, В)) есть либо трехзвенный (возможно, вырожденный) зигзаг, либо же квадрат всех ситуаций.

Именно, полагая, как и при анализе матричных игр, , мы получим, что при C≠0 множество ζ₁(Г) всех приемлемых для игрока 1 ситуаций состоит из точек трех типов:

(1,η), где ηС≥α

(0,η), где ηС≤α

(ξ,η), где ηС=α и ξ є [0,1]

При С=0 и α≠0 это множество будет иметь вид

(1,η), если a₂₂ > a₁₂

(0,η), если a₂₂ < a₁₂

Наконец, при C = 0 и α = 0 будет ζ₁(Г) – X x Y, т.е. приемлемыми для игрока 1 будут все ситуации.

Перейдем к описанию множества ζ₂(А, В) всех ситуаций, приемле­мых в биматричной игре Г (A,B) для игрока 2.

Во-первых, это можно сделать, проложив аналогию с матричными играми, тогда в нера­венствах XА₁ ≥ XАY^T, XА₂ ≥ XАY^T вместо матрицы А следует рассматривать матрицу —В.

Во-вторых, это можно сделать, перейдя в рамках игры Г (А, В) от игро­ка 1 к игроку 2 и заменив в связи с этим матрицу A в рассуждениях и соответственно в неравенствах A₁ Y^T ≤ XAY^T и A₂Y^T ≤ XAY^T на матрицу В^T.

В обоих случаях мы получаем систему неравенств

XB₁ ≤ XBY^T , (13)

XB₂ ≤ XBY^T. (14)

В результате оказывается, что ζ₂(А, В) = ζ₂(- В) является, подобно ζ₁(А, В) = ζ₁(A), трехзвенным (возможно, вырожденным) зигзагом или же множеством всех вообще ситуаций.

Именно, положим D = b₁₁ – b₁₂ – b₂₁ + b₂₂ , β = b₂₂ – b₂₁ . Тогда при D≠0 множество ζ₂(Г) будет состоять из точек трех типов:

(ξ,1), где ηD≥α

(ξ,0), где ηD≤α

(ξ,η), где ηD=α и η є [0,1]

При D = 0 и β≠0 это множество будет иметь вид

(ξ,1), если b₂₂ > b₂₁

(ξ,0), если b₂₂ < b₂₁

а при D=0и β = 0 — совпадать с множеством всех ситуаций X x Y.

Естественно, что в случае биматричной игры Г для взаимного расположения множеств ζ₁(Г) и ζ₂(Г) может представиться существен­но больше комбинаций, чем в случае матричной игры.

В частности, в отличие от случая матричной игры, зигзаги ζ₁(Г) и ζ₂(Г) могут быть не только одинаковой, но и проти­воположной ориентации (рис. 3, а и б).

Рисунок 3.

В первом случае ζ(Г) = ζ₁(Г) ∩ ζ₂(Г) состоит из единственной точки, а во втором — из трех точек.

Ордината η* горизонтального звена зигзага ζ₁ (Г), как и в случае матричной игры Г_А , описывается формулой

Выражение же для абсциссы ξ * вертикального звена зигзага в ζ₂(A,B) получается из формулы путем замены в ней каждого a_ij на соответствующее — b_ij (фактически знаки в дроби останутся без измене­ний) . Таким образом,

Сравнение этих выражений с формулами и показывает, что в рассматриваемой биматричной игре в условиях ситуации равновесия во вполне смешанных стратегиях поведение игрока 2 совпадает с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей А, а пове­дение игрока 1 — с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей В.

Таким образом, описанное равновесное поведение игроков оказывается ориентированным не столько на максимизацию собственного выигрыша, сколько на минимизацию выигрыша противника. Так «антагонизм поведе­ния»¹⁴ может возникать и при отсутствии «антагонизма интересов»¹⁵.

Обратим, наконец, внимание на следующее примечательное обстоя­тельство .

Пусть зигзаги приемлемых ситуаций для 2 X 2-биматричной игры Г(А, В) имеют вид, представленный на рис. 1. А или б (или же зеркальный по отношению к одной из этих картинок). Если теперь «слегка» изменить матрицы А и В, то и зигзаги «пошевелятся чуть-чуть», не изменив ни своей общей формы, ни взаимного расположения. В частности, их пересечение будет по-прежнему состоять из одной точки или из трех.

В этом месте мы встречаемся с весьма общей и глубокой теоретико-игро­вой закономерностью: если конечная бескоалиционная игра Г носит «общий» характер, т.е. форма и расположение множеств приемлемых ситуа­ций ζ_i(Г) для каждого из игроков не изменяется при достаточно малом изменении значений функций выигрыша игроков, то множество ζ(Г) ситуаций равновесия в этой игре (являющееся пересечением множеств ζ_i(Г)) конечно и насчитывает нечетное число точек.