7.2. «Два бандита»
Игроками А и В являются преступники («бандиты»), находящиеся в предварительном заключении по подозрению в тяжком преступлении.
Прямых улик, однако, против них нет, и возможность их обвинения в значительной мере зависит от того, сознаются ли преступники сами.
Если они оба сознаются, то будут, несомненно, осуждены на длительный срок тюремного заключения, однако при этом признание учитывается как смягчающее обстоятельство (потери каждого из игроков в этом случае оценим в -8). Если они оба не сознаются, то за отсутствием улик обвинение в тяжком преступлении будет снято, но следователь сможет доказать их виновность в совершении менее значительного преступления, в результате чего оба получат некоторое наказание (потери составляют -1 для каждого).
Если наконец, сознается лишь один из преступников, то по законам той «модельной» страны, в которой происходят описываемые события, он будет выпущен на свободу (потери равны 0), а его упорствующий партнер получит полную меру наказания (потери будут равны -10).
В этой игре каждый игрок имеет две стратегии признаваться или нет. Матрицами выигрышей игроков являются:
А теперь решим эту игру алгебраическим способом. В этой игре С = 1, α = - 1, η* = - 1; поэтому ситуациями, приемлемыми для игрока 1, будут ситуации вида (1,η) при произвольном η є [0, 1].
Аналогично мы получаем, что ξ*=-1, так что для игрока 2 приемлемыми ситуациями будут ситуации вида (ξ,1) при произвольном ξ.
Для наглядности на рис. 5 изображены зигзаги, описывающие решения неравенств (11) — (15) и за пределами сегментов [0,1] – изменения вероятностей ξ и η.
Единственной ситуацией равновесия в рассматриваемой игре оказывается поэтому ситуация (1, 1), в которой каждый из игроков должен сознаться. В этой ситуации каждый из участников игры теряет 8.
Рисунок 5
Вместе с тем очевидно, что в ситуации (0, 0) каждый игрок теряет лишь по единице. Однако ясно, что ситуация (0, 0) ,в которой каждый выбирает свою вторую чистую стратегию и потери обоих игроков минимальны, является весьма неустойчивой: каждый игрок, изменяя в ней произвольным образом свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.
Множество ζ (Г) всех реализуемых векторов выигрышей для рассматриваемой игры имеет вид, изображенный на рис. 6 Очевидно, здесь ситуации с выигрышами (- 1, — 1), (- 10,0) и (0, - 10) являются оптимальными по Парето. При этом первая из них, в которой получаются наибольшие выигрыши (—1,-1), для каждого из игроков лучше, чем равновесная.
Рисунок 6
Противоречие между осуществимостью ситуации, выражаемой в виде равновесности и ее выгодностью, которой соответствуют оптимальность по Парето, имеет по существу ту же природу, что и противоречие между максиминным и минимаксным выигрышами. Поэтому оно должно разрешаться при помощи аналогичных приемов, состоящих в расширении множеств уже имеющихся стратегий.
«Зачет»
Студент (Игрок 1) готовиться к зачёту, который будут принимать преподаватель (Игрок 2). Будем считать, что у студента две стратегии: хорошо подготовиться (Х) и плохо (П), у преподавателя так же две стратегии: поставить зачет (+) или не поставить (-). В основу оценки значений функции выигрыша игроков можно положить, например, следующие соображения, отражённые в матрицах:
Выигрыши студента
+ -
Выигрыши преподавателя
+ -
Для студента наиболее беспроигрышной стратегией является вторая, т.е. плохо подготовиться, так как в этом случае ему либо удастся словчить либо он получит по заслугам.
Теперь рассмотрим эту же задачу алгебраически.
С=2, α=-1, η*= 1/2.
(0,η) , где 0≤η≤1/2
(ξ, 1/2) , где ξ произвольно
(1,η) , где 1/2≤η≤1
Аналогично, D = 4, β = 2, ξ* = 1/2. Поэтому приемлемыми для игрока 2 будут ситуации
(ξ,0), где 0≤ξ≤1/2,
(1/2,η), где η произвольно,
(ξ,1), где 1/2≤ξ≤1.
Как видно из рис.7, данная игра имеет две ситуации равновесия: (0,0), (1/2,1/2).
Рисунок 7
