4*. Причем .

Замечание. Несмотря на то, что скалярное произведение на комплексном пространстве есть число комплексное, из первой аксиомы видно, что скалярный квадрат вектора есть уже число действительное.

Таким образом, видим, что аксиомы скалярного произведения для комплексного пространства отличаются лишь одной первой аксиомой от соответствующих аксиом для действительного пространства. Докажем также простейшие следствия.

1º.

► [1*] = [2*] = = = [1*] = ◄

2º.

► = [1*] = = [3*] = = = [1*] = ◄

Итак, функция скалярного произведения на комплексном линейном пространстве по первому аргументу также является линейной, а вот по второму она будет линейной только наполовину. Поэтому и называется эта функция полуторалинейной формой. Полуторалинейная форма, удовлетворяющая первой аксиоме, называется эрмитовой формой, а удовлетворяющая четвертой – положительно определенной. Таким образом, скалярное произведение на комплексном линейном пространстве – положительно определенная эрмитова форма.

Примером комплексного евклидова пространства является пространство , в котором скалярное произведение задается равенством

.

Покажем, например, что справедлива четвертая аксиома. Действительно, . При этом, если , то , откуда вытекает, что Таким образом, . В том, что все остальные аксиомы выполняются, нетрудно убедиться самостоятельно.

Комплексные и действительные евклидовы пространства мы будем называть просто евклидовыми и обозначать или . Если из контекста непонятно, о каком из пространств идет речь, тогда название будем конкретизировать.

§ 3. Некоторые свойства скалярного произведения

Так как в произвольном евклидовом пространстве скалярный квадрат любого вектора есть число неотрицательное, то .

Определение. Длиной вектора евклидова пространства Е называется число .

Запишем, как находится длина вектора в известных нам евклидовых пространствах.

; .

Теорема 6.1 (неравенство Коши – Буняковского). В любом евклидовом пространстве модуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения их длин, т. е.

. (6.1)

► Если , то неравенство (6.1) истинно. Докажем его при условии, что . Выберем произвольные векторы и . Тогда

. (6.2)

Зафиксируем в (6.2) векторы и и положим . Так как скалярный квадрат любого вектора есть число неотрицательное, то из (6.2) получаем

,

откуда и вытекает неравенство (6.1) после извлечения квадратного корня.

Запишем, как выглядит неравенство Коши – Буняковского в известных нам евклидовых пространствах.

.

Следствие. Для любых ненулевых векторов и евклидова пространства справедливо неравенство

Это позволяет в действительном евклидовом пространстве ввести понятие угла между векторами (в комплексном пространстве понятие угла не вводится).

Определение. Углом между ненулевыми векторами и в действительном евклидовом пространстве называется угол такой, что .

Теорема 6.2 (неравенство треугольника). Длина суммы любых двух векторов евклидова пространства не превосходит суммы их длин, т. е.

. (6.3)

►

откуда вытекает (6.3) после извлечения квадратного корня.◄

Запишем, как выглядит неравенство треугольника в известных нам евклидовых пространствах:

;

;

.