- •Глава 6. Евклидовы пространства
- •§ 1. Действительные евклидовы пространства
- •Простейшие следствия из аксиом
- •Примеры действительных евклидовых пространств
- •Псевдоевклидово пространство
- •Примером псевдоевклидова пространства является пространство
- •§ 2. Комплексные евклидовы (унитарные) пространства
- •4*. Причем .
- •§ 3. Некоторые свойства скалярного произведения
- •§ 4. Ортогональные системы векторов
- •§ 5. Процесс ортогонализации Шмидта
- •§ 6. Выражение скалярного произведения через координаты
- •Изменение матриц Грама при изменении базиса
- •§ 7. Некоторые свойства матрицы Грама
- •§ 8. Разложение евклидового пространства в прямую сумму подпространств
- •§ 9. Изоморфизм евклидовых пространств
§ 8. Разложение евклидового пространства в прямую сумму подпространств
Пусть Е – некоторое евклидово пространство, тогда Е – линейное пространство, и пусть – подпространство этого линейного пространства. В подпространстве автоматически определяется операция скалярного произведения: . Очевидно, все аксиомы скалярного произведения выполняются, значит, становится евклидовым пространством. Таким образом, любое подпространство евклидового пространства также является евклидовым пространством.
Определение. Пусть Е – евклидово пространство, – его подпространство. Ортогональным дополнением к подпространству называется подмножество пространства Е
,
которое состоит из векторов пространства Е, ортогональных всем векторам подпространства .
Теорема 6.6. Пусть – евклидово пространство, – его подпространство. Тогда также является подпространством , причем, если – конечномерное, то
(6.17)
►Докажем вначале, что – подпространство . Во-первых, , значит, . Кроме того,
.
Таким образом, на основании теоремы 3.4, – подпространство пространства .
Пусть теперь – конечномерное подпространство пространства , причем и (в этих случаях равенство (6.17), очевидно, выполняется). Обозначим и зададим в какой-либо ортонормированный базис
. (6.18)
Выберем произвольный вектор евклидова пространства и обозначим . Положим , . Покажем, что каждый из векторов (6.18) ортогонален . Действительно, при . Поэтому ортогонален и произвольному вектору подпространства . Таким образом, , причем , а , откуда вытекает, что
Остается показать, что сумма прямая. В самом деле, пусть . Тогда и . Значит, , следовательно, . Таким образом, , и поэтому ◄
§ 9. Изоморфизм евклидовых пространств
Определение. Изоморфизмом евклидовых пространств называется взаимно однозначный линейный оператор , сохраняющий скалярное произведение, т.е. удовлетворяющий условию
. (6.19)
Таким образом, изоморфизм евклидовых пространств – в первую очередь изоморфизм линейных пространств, и поэтому если евклидовы пространства изоморфны, то они либо оба действительные, либо оба комплексные и имеют одинаковые размерности.
Теорема 6.7. Все -мерные действительные евклидовы пространства изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма действительное евклидово пространство.
Упражнение. Докажите эту теорему по аналогии с соответствующей теоремой для линейных пространств.
Такое же утверждение справедливо и для комплексных евклидовых пространств.