36. Билинейный формы

Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля и ).

Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:

, , , .

здесь и

Свойства:

-Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.

-Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.

-При выбранном базисе в L любая билинейная форма F однозначно определяется матрицей

-Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.

-Размерность пространства есть .

-Несмотря на то, что матрица билинейной формы F зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы F. Билинейная форма называется невырожденной, если ее ранг равен .

-Для любого подпространства ортогональное дополнение является подпространством .

- , где r — ранг билинейной формы F.

37. Квадратичные формы

Действительной квадратичной формой от n действительных переменных называют многочлен с действительными коэфициентами , каждый член которого имеют вторую степень, т.е. многочлен вида

Пусть – квадратичная форма _. Коэффициент при в ней обозначен через , а коэффициент при произведении – через . Будем считать, что

При такой договоренности квадратичную форму мажно записать следующим образом:

Такой вид записи квадратичной формы называют ее симметричным видом.

38. Ограничение билинейных и квадратичных форм

39. Ортагональные вектора

Пусть L – подпространство евклидова пространства Е. Каждый вектор может быть единственным способом представлен в виде , где , а вектор ортогонален вектору из L, т.е. . Вектор называют ортогональной проекцией вектора на пространство L и обозначают , а вектор называют ортогональной составляющей вектора .

Очевидно, что если , то , и, наоборот, если , то

Длина ортогональной составляющейвектора х меньше длины любого вектора, опущенного из конца вектора х на подпространство L.

Действительно, пусть – произвольный вектор, опущенный из конца вектора х на подпространство L и - ортогональная составляющая вектора х. Тогда при

Поэтому

так как и ортогональны.

40. Приведение к кононическому виду

Теорема 39.1 Любую квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных можно привести к каноническому виду.

Привести квадратичную форму к каноническому можно методом Лагранжа.

Пусть, например, в квадратичной форме есть член с квадратом переменной , т.е. . Тогда получим

где – квадратичная форма уже только от переменных

Введем новые переменные

И примет вид

Пусть Q – его матрица, А – матрица квадратичной формы, С – диагональная матрица полученного канонического виде. Тогда формула примет вид

41. Алгоритм Логранжа

42. Нормальный вид квадратичной формы над c и r

Пусть квадратмичная форма приведена к каноническому виду , ,

Выполним дополнительное преобразование переменных

,

В результате квадратичная фр=орма преобразуется к виду.

такой вид квадратичной формы называют ее нормальным видом