31. .Построение Жордановой нормальной формы с единственным собственным значением

32. Алгоритм нахождения нормальной жордановой формы

1. Находим характеристический многочлен и ищем его корни.

2. Пусть -один из корней, используя формулы L()=n-rang(A-E)

И L_k()=rang(A-E)^k-1 -2 rang(A-E)^k+ rang(A- E)^k+1 находим все члены

произв порядка с  по диагонали.

3. Переходим к другому корню

4. Из всех полученных клеток Жордана строим Жорданову

нормальную форму матрицы.

33. Минимальный многочлен

Многочлен минимальной степени, имеющий старший коэффициент, равный единице, и аннулируемый матрицей А, называют минимальным многочленом этой матрицы.

Теорема 33.1. Любой многочлен, аннулируемый матрицей А, нацело делится на минимальный многочлен этой матрицы. В частности, характеристический многочлен матрицы делится на ее минимальный многочлен.

Д-во.

Разделим многочлен на минимальный многочлен с осьатком: , где многочлен имеет степень меньше степени . Заменив переменную матрицей А, получим:

Так как , то и . Это означает, что многочлен нацело делится на

Следствие. Любой корень минимального многочлена матрицы является корнем ее характеристического многочлена.

34.Теорема Гамильтона-Келли

Теорема 28.3. (теорема Гамильтона-Кэли)

Любая квадратная матрица является своего характерического многочлена.

Д-во.

Пусть А-квадратная матрица n-го порядка. Рассмотрим матрицу С к матрице . Матрицу С можно представить в виде

, где -некоторые числовые матрицы. По основному свойству присоединенной матрицы имеем:

Тогда

Раскрывая скобки в обеих частях равенства и присваивания коэффициенты при одинаковых , получим систему из n+1 равенства

Умножим первое равенство системы на Аⁿ, второе – на А^n-1 и т.д., n-е равенство – на А, (n+1)-е равенство – на А⁰=Е:

При сложении этих равенств в левой части получим нулевую матрицу, а в правой части – выражение

Поэтому ;

35. Линейная форма

Определение 2. Отображение F, заданное на евклидовом пространстве En в множество действительных чисел R, называют линейным функционалом векторного аргумента если для любых элементов и любого действительного числа выполняются соотношения:

(свойство аддитивности).

(свойство однородности).

Определение 3. Однородный многочлен 1-ой степени f(x)= относительно значений линейного функционала х1, х2, …, хn называется линейной формой.

Таким образом, любая линейная функция f(x) в n-мерном евклидовом пространстве является линейной формой относительно координат ее аргумента х.

Определение 4. Неоднородное уравнение линейной формы вида Ах1 + Вх2 = С, называется уравнением прямой в двумерном векторном пространстве R2, а неоднородное уравнение линейной формы вида Ах1 + Вх2 + Сх3 = D, называется уравнением плоскости в R3.

Теорема 35.1 Две системы линейных форм от n переменных будут эквивалентны по отношению к небособенным линейным преобразованиям, если ни один из обоих результатов не равен нулю.

Теорема 35.2 Единственными целыми рациональными инвариантами системы n линейных форм от n переменных будут постоянные кратные степеней результата.