- •1. Определение и простейшие свойства векторных пространств
- •2. Лиинейная зависимость векторов
- •3. Линейная выражаемость системы векторов
- •4. Базис векторного пространства
- •5. Размерность и свойства векторного пространства
- •8)Для любого вектора х и любых чисел α,β выполняется равенство
- •6. Координаты вектора
- •7. Ранг системы векторов
- •8. Ранг матрицы
- •9. Теорема о ранге матрицы
- •10. Связь между базисами пространства
- •11. Подпространство. Сумма и пересечение подпространств
- •12. Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств
- •13. Прямая сумма подпространств
- •14. Прямое дополнение подпространств
- •15. Критерий совместимости системы линейных уравнений
- •16. Системы линейных однородных уравнений
- •17. Построение системы линейных однородных уравнений по подпространству
- •18. Связь между решениями однородной и неоднородной системы линейных уравнений
- •19. Определение и простейшие св-ва линейных операторов
- •20. Действие с линейными операторами
- •21. Матрица линейного оператора
- •22. Соответствующие действия над операторами и матрицами
- •23. Изоморфизм линейного пространства
- •24. Ранг и диффект линейного оператора
- •25. Изменение матрицы линейного оператора при замене матрицы
- •26. Инвариантное подпространство
- •27. Линейный оператор с клеточно-диагональной матрицей
- •28. Характеристический многочлен
- •29. Собственные вектора линейного оператора
- •30. Жорданова нормальная форма
- •31. .Построение Жордановой нормальной формы с единственным собственным значением
- •32. Алгоритм нахождения нормальной жордановой формы
- •33. Минимальный многочлен
- •34.Теорема Гамильтона-Келли
- •35. Линейная форма
- •36. Билинейный формы
- •37. Квадратичные формы
- •38. Ограничение билинейных и квадратичных форм
- •39. Ортагональные вектора
- •40. Приведение к кононическому виду
- •41. Алгоритм Логранжа
- •42. Нормальный вид квадратичной формы над c и r
- •43. Закон инерции вещественных квадратичных форм
- •44. Знакоопределенная форма
- •45. Критерий Сильвестра
- •46. Эквивалентность квадратичных форм
- •47. Элементарные делители матрицы
- •48. Матрица Фробениуса сопровождающая систему
- •49. Нормальная форма Фробениуса
20. Действие с линейными операторами
Пусть из линейного пространства Х над полем Р в линейное пространство Y над тем же полем действуют линейные операторы и считаются равными, если , xX.
Суммой операторов и называют оператор + , т.е.
, xX
Действительно, для любых векторов у,xX имеем:
Для любого вектора xX и числа Р:
Произведением линейного оператора на число Р называют оператор , т.е. , xX
Действительно, для любых векторов у,xX и любого числа Р имеем:
1)
2)
21. Матрица линейного оператора
Предположим, что в линейном пространстве X задан базис
, а в линейном пространстве Y – базис . Каждый вектор такой по базису q:
с матрицей
А= и назавем ее матрицей линейного оператора в паре базисов е и q.
Теорема 20.1. Пусть – линейный оператор, действующий из линейного пространства Х в линейное пространство Y имеющий в двух заданных базисах e в X и q в Y матрицу А. Тогда
1) ранг r оператора совпадает с рангом его матрицы А.
2)дефект оператора равен разности n – r размерности n линейного пространства Х и ранга r оператора .
3)сумма ранга и дефекта оператора равна размерности линейного пространства Х.
22. Соответствующие действия над операторами и матрицами
23. Изоморфизм линейного пространства
Биективное отображение векторных
пространств X и Y над полем P называется изоморфизмом, если для любых векторов x,y ∈ X и любого числа ∈ P выполняются условия:
Отметим простейшие свойства изоморфизмов.
Свойство 1. Тождественное отображение , является изоморфизмом.
Свойство 2. Если – изоморфизм, то обратное отображение также изоморфизм.
Действительно, поскольку – биективное отображение, то существует обратное отображение . Пусть x,y ∈ X . Так как биективно, то существуют элементы v,u ∈ X , такие, что
, .
Следовательно,
, что и требовалось.
Свойство 3. Если и – изоморфизмы векторных
пространств, то – также изоморфизм.
Свойство 4. Для произвольного натурального n
=
Свойство 5. = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.
Действительно, если x = 0, то .
Свойство 6. Если – линейно независимая система в X , то – линейно независимая система в Y , т.е. изоморфизм переводит линейно независимые системы в линейно независимые.
Свойство 7. Если – базис X , то – базис Y .
Теорема 5.1. Если векторные пространства V и W над полем имеют
одинаковую размерность, то они изоморфны.
24. Ранг и диффект линейного оператора
25. Изменение матрицы линейного оператора при замене матрицы
26. Инвариантное подпространство
Подпространство W линейного пространства V называется инвариантным относительно оператора T, действующего в пространстве V, если для любого , иными словами, .
Важными примерами T-инвариантных подпространств являются собственные и корневые подпространства оператора.
Линейная независимость собственных векторов, отвечающих разным собственным значениям.
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Оператор простого типа, диагонализуемость его матрицы.
Матрица называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что Т-1АТ=В является диагональной.
Достаточное условие оператора простого типа.
Матрица линейного оператора диагонализуема тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого оператора.
(Матрица А линейного оператора f n-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда, когда существует базис этого пространства, состоящий из собственных векторов.)
Инвариантные подпространства.
Базис, составленный из собственных векторов линейного оператора называют собственным базисом оператора.