2. Постановка задачи параметрической оптимизации виброзащитной системы

Под задачей параметрической оптимизации ВЗС понимают задачу определения оптимальных параметров системы виброизоляции объекта при выбранной (или заданной) структуре и наличии полной информации об объекте и возмущениях, действующих на него.

Как было отмечено [10], задачу синтеза оптимальных структур систем виброизоляции можно в принципе свести к задаче параметрической оптимизации. Действительно, на практике существует конечное число виброизоляторов, имеющих ту или иную упругодемпфирующую характеристику, и конструктивных систем, окончательная количественная оценка преимуществ и недостатков которых может быть произведена только путём определения или задания значения конструктивных параметров. Поэтому выбор оптимальной структуры может быть осуществлён посредством решения нескольких задач параметрической оптимизации с использованием математической модели, учитывающих особенности каждой из рассматриваемых структур виброизоляции.

Кроме того, задачи параметрической оптимизации могут быть сведены к задаче оптимизации активных виброзащитных систем. Для этого задаётся структура управляющего воздействия, зависящая от некоторых параметров, которые определяются решением задачи параметрической оптимизации.

Пусть уравнение движения системы виброизоляции объекта с n степенями свободы имеет вид

(1.2.1)

Где q –n-мерный вектор обобщённых координат; ϭ – m-мерный вектор обобщённых координат основания - заданный закон изменения обобщённых ускорений основания); D – заданная постоянная nxm матрица, v – r-мерный вектор конструктивных параметров; - n-мерная вектор функция, определяющая заданную структуру системы виброизоляции.

К качеству виброизоляции объекта наложены требования в виде неравенств

(1.2.2)

(1.2.3)

Здесь e_i и d_j – заданные постоянные n-мерные векторы.

Отметим, неравенства (1.2.2) можно трактовать как условия ограниченности абсолютного ускорения заданных точек объекта, а неравенства (1.2.3) как ограничения на относительные перемещения объекта в заданных направлениях.

Задача синтеза параметров ВЗС в данном случае может рассматриваться как задача нахождения конструктивных параметров v, при которых выполняются показатели качества виброизоляции объекта (1.2.2) и (1.2.3). при этом параметры v должны удовлетворять некоторым конструктивным ограничениям

Множество V будем называть множеством допустимых конструктивных параметров.

Параметрическая оптимизация предполагает решение задачи условного экстремума. Для этого обычно выделяют в качестве критерия оптимальности (функция цели) наиболее важный по условиям решаемой задачи показатель находятся из условия минимизации функции цели

(1.2.5)

В этом случае, если при некотором векторе конструктивных параметров имеем

(1.2.6)

То требования к качеству виброизоляции (1.2.2)-(1.2.3) при этом v выполняются. Дальнейшая минимизация функции цели (1.2.5) может быть вызвана стремлением улучшить качество виброизоляции, достигнуть оптимального значения параметров v.

При решении задач параметрической оптимизации наибольшее распространение получили методы нелинейного математического программирования (методы поиска). Суть методов поиска заключается в организации движения изображающей точки v в пространстве конструктивных параметров V, в результате которого достигается приближение к экстремуму функции цели. При этом до начала поиска возникает необходимость выбора начальной изображающей точки в пространстве конструктивных параметров, от которой зависит эффективность поиска оптимальных значений параметров.

В работе [15] был предложен подход к синтезу параметров, обеспечивающих заданные требования к качеству виброизоляции. Данный подход включает в себя два этапа:

1. построение эталонного закона движения;

2. поиск параметров, наиболее близко реализующих эталонный закон движения.

В условиях, когда заданы требования виброизоляции в виде (1.2.2) – (1.2.3), первый этап построения представляет самостоятельный интерес. Решение этой задачи позволяет ответить на вопрос о реализуемости этих требований.

Для решения данной задачи в (1.2.1) заменим на n-мерную функцию u(t)

(1.2.7)

Эталонный закон движения объекта защиты выбирается, исходя из требований предъявляемых к качеству виброизоляции. В общем случае эталонный закон движения следует выбирать из решения некоторой задачи оптимального управления. При этом соотношения (1.2.7) рассматриваются в качестве уравнений движения, а вектор-функция u(t) как управление. Ограничения, которые обычно связаны с технической реализуемостью системы виброзащиты, при решении задачи оптимального управления во внимание не принимаются. Оптимизируемый функционал выбирается в зависимости от вида воздействий и требований, предъявляемых к качеству ВЗС. В нашей постановке оптимизируемый функционал должен отражать требования к качеству виброзащиты (1.2.2) и ограничения габаритных размеров (1.2.3). в частности, в качестве такого критерия можно выбрать среднеквадратический функционал

(1.2.8)

Введя матрицы Q и R следующим образом

Перепишем функционал (1.2.8) в виде

Следуя работе [5] для нахождения эталонного закона движения определим стационарные программные управления.

Введя вектор запишем уравнения (1.2.7) в виде

(1.2.9)

Составим гамильтониан

Где n-мерные вектор-функции (сопряжённые переменные).

Управление u^э(t) удовлетворяет условию максимума гамильтониана

Отсюда найдём

(1.2.10)

Здесь обратная матрица R^-1 существует в силу положительной определённости R. Запишем сопряжённую систему

(1.2.11)

Подставим (1.2.10) в систему (1.2.9) и объединив её с системой (1.2.11),

(1.2.12)

Согласно работе [5] эталонная траектория определяется единственным стационарным решением системы (1.2.12). Таким образом, для определения эталонного закона движения необходимо и достаточно найти частное решение системы (1.2.12), соответствующее ему эталонное управление определится выражением (1.2.10).