1.3 Синтез линейной динамической модели с одной степенью свободы

Согласно уравнению

(1.3.1)

где

вынужденные колебания описываются зависимостью

(1.3.2)

Здесь - фазочастотная характеристика,

(1.3.3)

Где - это коэффициент рассеяния; ;

Потребуется, чтобы при отсутствии диссипации выполнялось тогда на основании (1.3.3)

(1.3.4)

Условия (1.3.4) не зависят от ω. Это означает, что ; при этом что свидетельствует о нетривиальной ситуации, когда амплитудно-частотная характеристика для данной гармоники j не зависит от частоты возмущения ω. При учёте линейной силы сопротивления имеем при резонансном соотношении частот (jz=1) парадоксальный результат: соответствующая «резонансная» амплитуда обращается в нуль. Физический смысл этого эффекта связан с частотным совмещением резонанса с антирезонансом, причём в этом динамическом конфликте «побеждает» антирезонанс.

Далее обратимся к важным приложениям. Если в качестве циклового механизма выбрать синусный механизм, то и при j>1. При этом безразмерная амплитудно-частотная характеристика приобретает вид, показанный на рис.2. Здесь принято принимая во внимание физическое происхождение выявленного динамического эффекта, в резонансной зоне можно ожидать повышенную чувствительность к точности частотной настройки. Можно показать, что при требовании левая часть первого из условий (1.3.4) не должна превышать по абсолютной величине .

Для кривошипно-ползунного механизма (рис.1, в) функция положения с достаточной точностью может быть описана бигармонической функцией

Где r – радиус кривошипа; l – длина шатуна.

Потребуем, чтобы для основной гармоники j=1 удовлетворялось условие (1.3.4). Тогда при z=1 (ω=p) имеем а при получим

; (1.3.5)

При этом предполагается, что масса шатуна статически размещена между шарнирами А и В. Из (1.3.5) следует, что при уравновешивании кривошипа (R=0) на резонансной частоте по второй гармонике

1.4 Синтез линейной динамической модели с двумя степенями свободы

Обратимся к динамической модели с двумя степенями свободы, которой отвечает система дифференциальных уравнений

(1.4.1)

Не сужая общности в постановке задачи, произведём параметрический синтез колебательной системы с аномальными свойствами для случая моногармонического возбуждения.

При отсутствии диссипации (δ=0) и R=r амплитуда вынужденных колебаний платформы A₁ определяется следующим образом:

(1.4.2)

Введём следующие условные обозначения:

Можно показать, что обращается в нуль при

(1.4.3)

Условие (9) свидетельствует о том, что частотный фактор z может быть исключён из этого уравнения лишь при , т.е. для системы с одной степенью свободы. Поэтому в данном случае речь идёт не о постоянстве амплитуды, а об условии экстремума. Тем не менее левая часть условия (1.4.3) характеризует уровень производной , поэтому её малые значения могут быть использованы для получения квазипостоянных амплитуд вынужденных колебаний. С этой целью примем относительно малые значения и введём одно из дополнительных требований вида

(1.4.4)

(1.4.5)

В первом случае, отвечающем условию (1.4.4), обращается в нуль коэффициент при , а при условии (1.4.5) – свободный член. Как показал анализ, с позиции поставленной задачи более предпочтительным оказывается условие (11). При этом имеют место два экстремума – при и

Можно показать, что эти экстремумы являются «слабыми», что проявляется в малых изменениях производной в окрестностях этих значений. Последнее, естественно, свидетельствует о квазипостоянном характере изменения амплитуд.

При соблюдении условия (1.4.4) и Интересно, что в этом случае амплитуды вынужденных колебаний при и совпадают.

Далее для корректного учёта частотно независимой диссипации, характерной для реальных механизмов, осуществим переход к нормальным координатам согласно зависимостям

(1.4.6)

Здесь и - коэффициенты формы, определяемые как корни следующего квадратного уравнения

Где

После эквивалентной линеаризации диссипативных сил запишем

(1.4.7)

Где

приведение к соответствующей форме коэффициенты эквивалентного линейного сопротивления.

На основании (1.4.7) амплитуда вынужденных колебаний определяется как

(1.4.8)

Здесь

при при

Где

- правая часть соответствующего уравнения (1.4.7); - приведённый коэффициент рассеяния.

При необходимости, как и для модели степенью свободы, в зоне первого резонанса можно обеспечить условие A₁=0 за счёт параметра .

Анализируя зависимость (1.4.2), можно убедиться в том, что при в числителе вместо m₁ следует подставить , в то время как знаменатель остаётся неизменным. Это свидетельствует о том, что параметр ρ влияет лишь на частотную настройку функции возмущения, не влияя на значение собственных частот. Потребуем, чтобы при числитель функции (1.4.2) обратился в нуль. Тогда

(1.4.9)

Принимая во внимание, что где получаем Для принятых исходных данных При указанных коррективах амплитуда вынужденных колебаний при обращается в нуль.