3. Частный случай синтеза виброзащитной системы, содержащей пассивные и активные элементы

Рассмотрим решение задачи синтеза ВЗС при следующих требованиях предъявляемых к системе виброзащиты.

Ограничения габаритных размеров соответствуют ограничениям деформаций линейных пассивных подвесов .Соответствующие требования представим в виде (рис.2.2.)

(2.3.1)

где – допустимый свободный ход точки крепления i – го амортизатора; g_i – деформация i - го подвеса, определяемая по формуле

( 2.3.2)

Здесь x_i, y_i, z_i - координаты точки крепления i – го амортизатора; α_i, β_i, γ_i - направляющие косинусы, определяющие ориентацию i –го амортизатора.

Считаем, что основной задачей ВЗС является уменьшение проекцией абсолютных ускорений точек крепления линейных подвесов на направление действия их динамических реакций.

Продифференцировав (2.3.2.) дважды по времени и учитывая обозначения

Получим

(2.3.3)

где v_i - проекция абсолютного ускорения точки крепления i – го подвеса на направление действия их динамических реакций, а – проекция переносного ускорения, определяемых соотношениями

(2.3.4.)

(2.3.5.)

Рассмотрим N задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов, в которой управляемый процесс описывается системой уравнений

(2.3.6)

Требуется определить управление , минимизирующее функционал

(2.3.7)

Обозначив через – значение весового коэффициента, при котором выполняется

(2.3.8)

Оптимальное управление в задаче (2.3.6.) – (2.3.7.) имеет вид

(2.3.9)

Здесь - является частным решением системы уравнений

(2.3.10)

Заменив в (2.3.9) х_1i на g_i, а x_2i на , приравняв (2.3.9) к (2.3.4), получим

(2.3.11)

Учитывая (2.2.2) выражение (2.2.9) запишем в индексном виде

(2.3.12)

Где a_kk=m, (k=1,2,3); a₄₄=J_x, a₅₅=J_y, a₆₆=J_z.

Здесь m – масса объекта защиты; J_x, J_y, J_z – моменты инерции объекта.

Подставив выражения определяющие и (2.3.12) в (2.3.11), и приравняв полученные коэффициенты при q_j, получим

(2.3.13)

Аналогичным образом могут быть получены идентичные формулам (2.3.13) выражения относительно элементов матрицы демпфирования В. Все дальнейшие рассуждения, связанные с нахождением матрицы жёсткостей С, остаются справедливыми и для матрицы В.

Введя в рассмотрение векторы

(2.3.14)

Запишем соотношение (2.3.13) в компактном виде

(2.3.15)

Рассмотрим случай, когда число амортизаторов N или число независимых векторов меньше шести. В этом случае матрица жёсткостей С, элементы которой удовлетворяют равенству (2.3.15), могут быть найдены из минимизации на классе положительно-определённых матриц невязки

(2.3.16)

Следует заметить, что невязка (2.3.16) является выпуклой функцией относительно элементов матрицы С и поэтому её минимизация не составляет труда.

Перейдём к рассмотрению случая, когда число амортизаторов N больше шести. Не ограничивая общности, можем положить, что первые шесть векторов являются линейно-независимыми. При этих предположениях матрица С однозначно может быть выражена через . Соответствующие зависимости будут линейными

(2.3.17)

Подставив эти выражения в остальные N-6 соотношений (2.2.4), выразим через .

(2.3.18)

Так как целью системы амортизации в данном случае является уменьшение абсолютных ускорений точек креплений линейных элементов, то весовые коэффициенты выберем из решения задачи линейного программирования. Требуется на множестве, определяемом неравенствами

(2.3.19)

Найти доставляющие минимум функции

(2.3.20)

Для решения этой задачи может быть использован симплекс-метод. Заметим, что множество, определяемое неравенствами (2.3.19), гарантирует выполнение, в силу определения (2.3.7), габаритных ограничений (2.3.1).

Таким образом, матрица жёсткостей С определяется соотношениями (2.3.16), а матрица демпфирования В является решением следующего уравнения

(2.3.21)

Перейдём к определению управляющих воздействий приравняв в (2.3.10) свободные члены, получим

(2.3.22)

Введя вектор запишем первые шесть соотношений, входящих в (2.3.22), компактно

(2.3.23)

Разрешив систему уравнений (2.3.23), найдём Заметим, что для реализуемости найденных необходимо и достаточно, чтобы число точек приложения активных сил больше или равно шести, и при этом ранг матрицы коэффициентов собственных форм в точках приложения управляющих воздействий был равен шести.

Таким образом, конструирование ВЗС в предположенной постановке сводится к выполнению следующих операций:

1. Определение при которых выполняется (2.3.7).

2. Выбор шести линейно-независимых векторов

3. Определение, соответствующих найденным векторам, коэффициентов из решения задачи линейного программирования (2.3.19)-(2.3.20).

4. Определение матрицы С в соответствии с (2.3.17).

5. Определение матрицы В в соответствии с решением уравнений (2.3.20).

6. После определения частных решений (2.3.10), при найденных , нахождение из решения (2.3.23).

7. Определение из условия реализуемости найденных необходимых управляющих воздействий.