Модельные примеры
Рассмотрим одномерную задачу конструирования системы виброзащиты от заданного кинематического воздействия, вызванного поступательными колебаниями основания (рис. 2.3.).
Вставить рисунок 2.3.
Дифференциальное уравнение колебаний объекта защиты в системе координат, связанной с основанием, имеет вид
(2.4.1)
(2.4.2)
Где
- заданный закон изменения ускорения
основания;
- динамическая реакция системы виброзащиты.
Требуется определить
структуру динамической реакции системы
виброзащиты
,
доставляющей минимум критерию качества
(2.4.3)
Здесь
- заданный весовой коэффициент.
Отметим, что
минимизация
вызвана стремлением ограничить габаритные
размеры ВЗС, а минимизация
соответствует уменьшению перегрузок,
возникающих в объекте защиты.
Сформулируем вспомогательную задачу аналитического конструирования оптимального регулятора. Тогда дифференциальное уравнение (2.4.1) примет вид
(2.4.4)
А функционал (2.4.3)
(2.4.5)
Определим вид матриц, входящих в систему (2.4.1), а также в уравнения (2.1.4) и (2.1.5):
Тогда матричное алгебраическое уравнение Риккати (2.1.4) запишется следующим образом
Разделяя на отдельные уравнения, получим систему алгебраических уравнений
Неотрицательно определённые решения данной системы удовлетворяют следующим соотношениям
(2.4.6)
Определим структуру системы линейных дифференциальных уравнений (2.1.5):
(2.4.7)
Найдём частное решение полученной системы (2.4.7) методом неопределённых коэффициентов.
Пусть основание совершает гармоническое колебания, то есть:
В этом случае частное решение системы (2.4.7) может быть записано в виде
(2.4.8)
Сначала найдём
решение
Для этого продифференцируем первое
уравнение из (2.4.7) второй раз по t,
после чего заменим
на
а
на
:
(2.4.9)
Подставим
,
в (2.4.10) и, после проведения необходимых
преобразований, определим коэффициенты
и
:
Так как
то
Аналогичным
способом найдём
(продифференцируем второе уравнение
из (2.1.53) по t
и заменим
на
.
Таким образом, частное решение системы (2.4.7) будет иметь вид
(2.4.10)
Где
Запишем теперь оптимальное управление
(2.4.11)
После проведения преобразований
Управление примет следующий вид:
(2.4.12),
Подставим найденное
частное реше5ние (2.4.10) в управление
(2.4.12), предварительно подсчитав значение
слагаемого
входящего в
Введём новые обозначения:
Тогда, так как
То
запишется таким образом
Теперь мы можем переписать управление в следующем виде:
(2.4.13)
Где
(2.4.14)
Подставим полученное управление (2.4.13) в исходное уравнение колебаний объекта защиты (2.4.1)
Получим следующее дифференциальное уравнение
(2.4.15)
Где
и Е
определяются соотношениями (2.4.14).
Найдём частное решение уравнения (2.4.15):
Подставим найденные
коэффициенты B
и D
в формулу частного решения
уравнения
(2.4.15):
Таким образом, частное решение уравнения (2.4.15) имеет вид
(2.4.16)
Где
Определим теперь оптимальное управление по формуле (2.4.11).
Оно удовлетворяет следующему соотношению:
(2.4.17)