- •Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).Методы решения.
- •Основные алгебраические структуры: группы, кольца , поля. Основные свойства. Примеры.
- •1. Гомоморфный образ группы также является группой относительно своей операции.
- •2. Пусть f: g1®g2 – гомоморфизм групп. Тогда
- •Композиция любых двух (или нескольких) гомоморфизмов (моно, эпи) является гомоморфизмом (моно, эпи).
- •Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.
- •Линейные пространства, подпространства. Примеры. Свойства пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис пространства.
- •5. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и отыскание.
- •6. Корни многочлена. Методы нахождения корней. Результант многочленов, его связь с корнями.
- •7. Поле комплексных чисел. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексных чисел.
- •8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы, асимптоты.
- •9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
- •11. Операции над векторами векторного пространства v3. Векторный метод в решении геометрических задач.
- •12. Предел непрерывность функций одной и нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •13. Производная и дифференциал функции одной и нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости.
- •14. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления.
- •15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.
- •18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.
- •19. Степенные ряды в действительной и комплексной области. Радиус сходимости.
- •20. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, сходимость ряда Фурье.
- •21. Уравнения в частных производных. Основные задачи математической физики. Метод Фурье.
- •23. Множества и способы их задания. Отношения и отображения. Понятие о мощности. Счетные и континуальные множества.
- •Свойства счетных множеств
- •Графическое представление
- •5. Основные тождества алгебры множеств
- •Принципы математической индукции
- •Отображение отношения функции
- •24. Коды постоянной и переменной длины, примеры их использования. Принцип работы архиватора.
- •25. Задача потребительского выбора и ее решение.
- •26. Понятие эластичности, геометрический смысл. Свойства эластичности, эластичность элементарных функций.
- •27. Производственная функция. Закон убывающей эффективности.
- •28. Транспортная логистика. Транспортная система России, ее особенности и характеристики. Маршруты движения автотранспорта. Математические методы для организации материала потока.
- •29. Задачи линейного программирования. Экономический анализ задач с использованием теории двойственности.
- •3) Двойственная задача.
- •30. Нелинейное программирование. Методы решения задач.
9. Прямая и плоскость в пространстве, их уравнения. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Общее уравнение плоскости в пространстве.
Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными :
(1)
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1. Если , то оно принимает вид . Этому уравнению удовлетворяет точка . В этом случае плоскость проходит через начало координат.
2. Если , то . Плоскость будет параллельна оси , если - параллельна оси , - параллельна оси .
3. Если , то плоскость проходит через параллельно оси , т.е. плоскость проходит через ось . Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси и .
4. Если , то уравнение (1) принимает вид , т.е. . Плоскость параллельна плоскости . Аналогично, и .
5. Если , то уравнение (1) примет вид , т.е. . Это уравнение плоскости . Аналогично: и .
Каноническое уравнение прямой в пространстве.
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.
Пусть - направляющий вектор прямой и - точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку с произвольной точкой прямой , параллелен вектору . Поэтому координаты вектора и вектора пропорциональны: . (3) Уравнения (3) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Прямая и плоскость в пространстве.
1. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Пусть плоскость задана уравнением , а прямая уравнениями . Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и проекцией на плоскость. Обозначим через угол между плоскостью и прямой , а через - угол между векторами и (см. рис.)
Тогда . Найдем синус угла , считая : . И так как , получаем . (4)
Если прямая параллельна плоскости , то векторы перпендикулярны (см. рис.) , а поэтому , т.е. является условием параллельности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна плоскости , то векторы параллельны (см. рис.) . Поэтому равенства являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.
Пусть требуется найти точку пересечения прямой (5) с плоскостью (6)
Для этого надо решить систему уравнений (5) и (6). Проще всего это сделать, записав уравнение прямой (5) в параметрическом виде: . Подставляя эти выражения для в уравнение плоскости (6), получаем уравнение или
(7)
Если прямая не параллельна плоскости, т.е. если , то из равенства (7) находим значение : . Подставляя найденное значение в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда ( ):
1. если , то прямая параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (7) решения не имеет, так как имеет вид , где );
2. если , то уравнение (7) имеет вид ; ему удовлетворяет значение , любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Такм образом, одновременное выполнение равенств является условием принадлежности прямой плоскости.