3. Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей.

Пусть имеется множество . Биективное отображение множества M на себя называется подстановкой - степени.

Обозначается: . Пример:

Две подстановки называются равными, если они осуществляют одно и тоже отображение.

Пусть . Рассмотрим пару , она является инверсией, если числа и имеют разные знаки (иногда говорят неправильная пара). Если числа и имеют одинаковые знаки, то пара называется правильной. Пример: Рассмотрим подстановку , ( - инверсия, - правильная, - правильная) – нечетная. , ( - правильная, - инверсия, - инверсия) – четная подстановка.

Подстановка n-й степени называется четной, если она содержит четное число инверсий, и нечетной – если число инверсий в ней нечетное. Подстановка называется транспозицией. Можно записать .

Теорема: Любая подстановка – есть нечетная подстановка.

Знак любого рационального числа определяется след образом: . Знак подстановки определяется следующим образом .

Рассмотрим матрицу . Рассмотрим всевозможные произведения элементов данной матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения будут иметь такой вид: (*) и содержать n- сомножителей. Этому элементу поставим в соответствующую подстановку. множества . И, обратно, для любой подстановки : поставим в соответствие .

Таким образом, мы установили отображение между множеством подстановок и множеством, содержащим элементы вида (*).

Припишем каждому произведению знак его подстановки.

Определителем матрицы А называется число:

.

Так как различных подстановок существует n!, то сумма содержит n! слагаемых.det – детерминант (определитель).

. Каждое из слагаемых определителя называют членом определителя.

Частный случай вычисления detA:

1. n=1

2. n=2

3. n=3

(По правилу треугольника (Саррюса)).

Частные случаи расчета определителей n-порядка:

1. Если detA содержит нулевую строку или столбец, то он=0.

2. Матрица называется диагональной, если все элементы вне главной диагонали нулевые: . Определитель диагональной матрицы = произведению элементов главной диагонали.

3. Рассмотрим треугольные матрицы: . Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Основные свойства определителей:

1. Определитель квадратной матрицы A=определителю транспонированной матрицы. Следствие: Всякое свойство об определителе, доказанное для строк матрицы, справедливо и для столбцов.

2. Если все элементы некоторой строки определителя=0, то определитель равен нулю.

3. определитель матрицы, который содержит 2 одинаковые строки = 0.

4. Если все элементы одной строки матрицы определителя умножить на одно и тоже число, то detA умножится на это число.

5. detA, у которого каждый элемент некоторой строки является суммой 2-х слагаемых = сумме 2-х определителей, у первого из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а у второго – вторые, а остальные строки у всех определителей.

6. От перестановки 2-х строк матрицы, определитель меняет свой знак, не изменяясь по абсолютной величине.

Миноры и алгебраические дополнения.

Определитель матрицы, полученный из квадратной вычеркиванием i-й строки и k-столбца называется минором элемента и обозначается: . Произведение называется алгебраическим дополнением.

Теорема1: Если равны нулю все элементы последней строки квадратной матрицы A, за исключением может быть элемента , то определитель матрицы .

Теорема2: Если в какой-либо строке матрицы все элементы, кроме быть может одного, то определитель этой матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.

Теорема (О разложении определителя по строке или столбцу). Определитель квадратной матрицы A равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраическое дополнение.

.

Формула (1) называется разложением определителя по k-столбцу. Формула (2) называется разложением определителя по i-строке.