18. Производная функция комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитическая функция.

Пусть даны два множества и , элементами которых являются комплексные числа. Числа множества будем изображать точками комплексной плоскости , а числа множества - точками комплексной плоскости .

Если каждому числу (точке) по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) , то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного , отображающая множество в (рис.).

Если каждому соответствует несколько значений , то функция называется многозначной.

Множество называется областью определения функции ; множество всех значений , которые принимает на , называется областью значений этой функции(если же каждая точка множества - область значений функции; в этом случае функция отображает на ).

Далее будем рассматривать такие функции , для которых множества и являются областями.

Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости.

Функцию можно записать в виде , т.е. , где , , .

Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности. Функция называется непрерывной в точке , если .

Или: функция непрерывна в точке , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки , включая и саму точку. Тогда предел , (1)

если он существует, называется производной функции в точке , а функция называется дифференцируемой в точке .

В равенстве (1) любым образом стремится к нулю, т.е. может приближаться к точке по любому из бесконечного множества различных направлений. (рис.)

Из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке.

Теорема: Если функция определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке действительные функции и дифференцируемы, то для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства , . (2)

Равенства (2) называются условиями Коши-Римана.

Доказательство: Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в точке , тогда предел (1) существует. Можно считать, что точка приближается к точке по прямой, параллельной действительной оси (оси Ox), т.е. (см. рис.)

Тогда

Если же точка приближается к по прямой, параллельной мнимой оси (оси Oy), то , . В этом случае

Сравнив найденные пределы, получим . Отсюда следует: , .

Достаточность.

Пусть теперь условия (2) выполняются. Докажем, что функция дифференцируема.

Так как функции и дифференцируемы в точке , то их полные приращения можно представить в виде где - бесконечно малые более высокого порядка, чем .

Тогда

Заменяя в числителе первой части на , на , согласно условиям (2), получаем: , где , т.е.

, а - бесконечно малая высшего порядка относительно . Отсюда следует, что существует. При этом . Доказано.

С учетом условий Коши-Римана (2) производную дифференцируемой функции можно находить по формулам: (3)

Правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируемых в точке . Это означает, что если и дифференцируемы в некоторой точке комплексной плоскости, то верно следующее:

1.

2.

3.

4. Если дифференцируема в точке , а дифференцируема в точке , то .

Однозначная функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке .