15. Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости: Даламбера, интегральный, Лейбница.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

, (1)

где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера : .

Сумма первых членов ряда (1) называется -й частичной суммой ряда и обозначается через , то есть .

Рассмотрим частичные суммы . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают .

Если не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Примеры: 1. Ряд 1+1+1+…+1+… расходится, , при .

2. Ряд 0+0+0+…+0+.. сходится, его сумма равна 0.

3. Ряд сходится. Действительно,

Следовательно, , то есть ряд сходится, его сумма равна 1.

Свойства рядов:

1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

(2)

где c – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1) расходится и , то и ряд (2) расходится.

2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

, (3)

А их суммы равны соответственно, то сходятся и ряды

, (4)

причем сумма каждого равна соответственно .

3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Нахождение n-й частичной суммы и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости.

Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Достаточное условие расходимости ряда. Если , или этот предел не существует, то ряд расходится.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный и бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при и расходится при .

Интегральный признак Коши. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что

, то:

1. если сходится, то сходится и ряд (1);

2. если расходится, то расходится также и ряд (1).

Рассмотрим класс рядов, называемых знакочередующимися. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

, (5)

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (5) сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда (5) удовлетворяет неравенствам

. (6)

Доказательство: Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа ( ) членов ряда (5). Имеем

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера .

С другой стороны, можно переписать так:

.

Видно, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа ( ) членов ряда (5). Очевидно, что . Отсюда следует, что

,

т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (5) сходится, причем . Теорема доказана.

Замечание: Исследование знакочередующегося ряда вида

(7)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда (5).

Числовой ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд (8). Если сходится ряд (9), составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд (8).

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

16. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

Рассмотрим ряд, членами которого являются не определенные числа, а функции:

. (1)

Такой ряд называется функциональным рядом.

Сходимость функционального ряда: при каждом фиксированном значении функции принимают числовые значения, и поэтому при каждом фиксированном значении ряд (1) обращается в числовой ряд.

Множество всех значений , при которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (1).

В дальнейшем нас будет интересовать, что областью сходимости ряда (1) является некоторый промежуток.

Пусть все члены ряда (1) определены в некотором промежутке.

Функциональный ряд сходится в промежутке, если он сходится как числовой ряд при каждом значении из этого промежутка.

Частичные суммы ряда (1) являются функциями от . При фиксированном значении последовательность частичных сумм ряда (1) есть числовая последовательность. Если изменять , например, в некотором промежутке, то последовательность частичных сумм ряда (1) есть последовательность функций , (2) определенных в этом промежутке

Последовательность функций сходится в промежутке, если она сходится как числовая последовательность при каждом значении из этого промежутка.

Если при каждом значении из некоторого промежутка последовательность (2) сходится как числовая последовательность к некоторому пределу, то величина этого предела зависит от взятого значения , и поэтому при переменном последовательность функций (2) имеет пределом также функцию от : . (3)

Функция называется предельной функцией последовательности (2).

Так как суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то сумма функционального ряда (если он сходится для некоторого множества значений ) есть функция: . Функция определена в области сходимости ряда (1).

Последовательность функций равномерно сходится в некотором промежутке к предельной функции , если для всякого можно выбрать так, что и для всех из данного промежутка выполняется неравенство

(4)

Если последовательность частичных сумм ряда сходится к равномерно в некотором промежутке, то ряд равномерно сходится в этом промежутке. Другая формулировка: Разность между суммой ряда и какой-либо его частичной суммой есть остаток ряда: . Поэтому неравенство (4) может быть записано в виде .

Признак Вейерштрасса: Пусть дан функциональный ряд ; если существует положительный сходящийся ряд ( ), такой, что для всех верны неравенства ( ) (5), то данный функциональный ряд равномерно (и абсолютно) сходится в . (Этот признак справедлив и для ряд, заданного в интервале).

Положительный сходящийся ряд , связанный с функциональным рядом неравенствами (5), часто называется мажорирующим рядом или мажорантным рядом для функционального ряда.

Теорема: Если функции непрерывны в и ряд равномерно сходится в , то сумма ряда – непрерывная функция в . (Теорема справедлива в промежутках любого типа).

Доказательство: Пусть - сумма ряда. Проверим непрерывность в любой точке . Возьмем любую точку и произвольное . По определению равномерной сходимости ряда, найдем по числу такой номер , чтобы для было верно: (6) для всех из .

Из того, что сумма всякого сходящегося ряда получается сложением какой-либо частичной суммы ряда и суммы соответствующего остатка ( ), имеем:

и , где любое из , а - фиксированное и . Вычитая, находим: .

Отсюда . (7)

Так как непрерывна как сумма непрерывных функций, то по заданному можно подобрать так, что из неравенства будет следовать неравенство . Из (7), (6) и последнего неравенства получаем: . Таким образом, для произвольного найдено , такое, что при : . Это означает, что функция непрерывна в точке . Так как - любая точка из , то тем самым доказана непрерывность в .

17. Двойные интегралы, их определение и сведение к повторным. Некоторые приложения двойных интегралов.

Основные свойства двойных интегралов

Разложения двойных интегралов

Объем:

Площадь поверхности:

Вычисление массы плоской фигуры:

Отыскание статических моментов и центра тяжести плоской фигуры:

Центр тяжести системы материальных точек на плоскости определяется как такая точка, что если в ней сосредоточить массы всех точек системы, то ее статический момент относительно любой оси будет равен статическому моменту всей системы точек относительно той же оси.

Пусть в замкнутой области D плоскости Oxy задана непрерывная функция . Разобьем область D на «элементарных областей» ( ), площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через .

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений: . (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда стремится к бесконечности, таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается (или ).

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

. (2)

- функция, интегрируемая в области D; D – область интегрирования; x и y – переменные интегрирования; (или ) – элемент площади.

Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечание. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям.

При этом , равенство (2) можно записать в виде

.

Основные свойства двойного интеграла. Будем считать все подынтегральные функции непрерывными.

1. , c – const.

2. .

3. Если область D разбить линией на две области и такие, что состоит лишь из линии, их разделяющей,

то .

4.Если в области D имеет место неравенство , то и . Если в области D функции и удовлетворяют неравенству , то и

.

5. , так ка .

6.Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что . Величину называют средним значением функции в области D.

Приложения двойного интеграла.