10. Постулаты квантовой механики.

Как известно, в классической механике состояние частицы определяется заданием её координаты и импульса. Зная эти величины в нач. момент времени и используя второй закон Ньютона, можно определить состояние частицы в любой момент времени. Для микрочастиц, поскольку они обладают волновыми св-вами, точное задание их координат и импульса в один и тот же момент времени невозможен для описания движения микрочастиц нельзя использовать II закон Ньютона и тем самым методы классической механики. Поэтому в начале 20-х годов прошлого столетия для описания поведения микрочастиц была построена новая послед.теория, в основе которой лежат постулаты, отличающиеся коренным образом от постулатов, лежащих в основе классической механики. Эта новая теория получила название квантовой механики. В рамках данной теории удалось описать как корпускулярные, так и волновые св-ва микрочастиц. Следует сказать, что квантовая механика по своей сути является вероятностной теорией, т.е. происходящие в микромире события можно предсказать только с некоторой вероятностью → в квантовой механике главная задача состоит не в точном предсказании событий, как это делается в классической механике, а в определении вероятностей этих событий. Зная вероятности этих событий можно, зная правила, которые разработаны в квантовой механике, найти средние значения некоторых физических величин, которые можно измерить экспериментально. В основе квантовой механики лежат след.постулаты: 1) Состояние частицы задается волновой функцией , которая является комплексной величиной. 2) Если какая-либо система способна находиться в состоянии, описываемом волновой функцией ψ₁ и в другом состоянии волновой функцией ψ₂ , то она может находиться в состоянии, описываемом функцией ψ=с₁ψ₁+с₂ψ₂ , где с₁ и с₂ –произвольные, вообще говоря, комплексные числа. 3) Каждой механической величине L сопоставляется линейный самосопряженный оператор L→ . 4) Среднее значение величины L для системы, находящейся в состоянии, которое описывается волновой функцией ψ определяется формулой: . 5) волновая функция ψ подчиняется уравнению Шредингера: , где -оператор Гамильтона(оператор полной энергии).

Поскольку волновая функция является комплексной величиной, то → её экспериментально определить невозможно. Физическую интерпретацию волновой функции дал Борн, согласно которому квадрат модуля волновой функции ψ представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке, которая описывается радиус-вектором R.

P= ²=ψψ* (1). Под плотностью вероятности понимается вероятность нахождения частицы в единице объёма. Из вышесказанного следует, что вероятность нахождения частицы в объеме dV в момент времени t можно найти след.образом: (2). Как известно, полная вероятность любого события равна 1, поэтому из (2) →волновая функция должна удовлетворять след. условию: (3), где интеграл берется по всему пространству. Условие (3) в квантовой механике называется условием нормировки. Это связано с тем, что при решении уравнения Шредингера волновая функция определяется с точностью до постоянного множителя, который определяется из условия(3). Отметим, что в квантовой механике волновая функция является основной величиной, т.к. зная её, можно описать всё физические св-ва микрочастиц, в частности поскольку волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиций, то с ее помощью можно описать волновые св-ва микрочастиц.

11. Волновая функция и ее статистический смысл Волнова́я фу́нкция, или пси-функция  — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Мы привыкли к тому, что физически реальное - измеримо. Бор и Гейзенберг сделали обратное высказывание: " Принципиально неизмеримое - физически нереально." Поэтому "не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить" (Фейнман). Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А "говорить" следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (1.5), (1.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos(t- kх+_О)

или в экспоненциальной форме

S=А_Oехр[i(t- kх+_О)].

Заменив в соответствии с (1) и (2) и k=2/ через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

 =А_Oехр[(-i/ )(Еt- pх)]. (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет || ², то это [cм.(16)] несущественно).

Функцию  называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интепретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того , что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP=|| ² dV=^*dV (17)

где ^* - комплексно - сопряженная волновая функция.

Величина || ²=^* = dP/ dV - имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

(18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные  по координате х и времени t:

откуда

(19)

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями и , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

при любых комплексных и .

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (сложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией .

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией .

Поэтому для нормированных волновых функций .