12. Операторы физических величин в квантовой теории.

Квантовые операторы − символические изображения математических операций преобразования величин в квантовой теории. В квантовой механике постулируется, что каждой физической величине, описываемой в классической механике функцией F(x,y,z,p_x,p_y,p_z) координат и импульсов, ставится в соответствие линейный оператор ( , , ,) действующий на волновую функцию ψ(x,y,z,t). Под оператором понимается правило, по которому одной функции ψ(x,y,z,t) переменныx x, y, z, t сопоставляется другая функция χ(x,y,z,t) тех же переменных.

χ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z,t).

Например: оператор может означать дифференцирование по какой-либо переменной:

χ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z,t) = ∂(x,y,z,t)/∂x,

т. е. = ∂/∂x.     При построении операторов используется принцип − между операторами, описывающими частицы в квантовой механике, имеют место те же соотношения, что и между их аналогами в классической механике. Например, оператор полной энергии связан с операторами кинетической и потенциальной энергии соотношением . = + .     Примеры некоторых операторов.     Оператор координаты равен самой координате x, т. е. сводится к умножению на эту переменную: = x.     Операторами проекций импульсов являются операторы

_x = (ћ/i)(∂/∂x), _y = (ћ/i)(∂/∂y), _z = (ћ/i)(∂/∂z).

    Остальные операторы могут быть построены, используя операторы координаты и импульса и простое правило, которое выполняется в большинстве случаев: в квантовой механике операторы физических величин выражаются друг через друга так же, как сами физические величины в классической физике.

    Оператор кинетической энергии :

    Оператор Гамильтона (гамильтониан) − оператор полной энергии :

= + .

    Если частица движется в потенциальном поле U(x,y,z), то оператор Гамильтона имеет вид

    Оператор момента количества движения :

    Оператор квадрата момента количества движения ²:

    С каждым оператором в квантовой механике связывается уравнение

ψ_n(x) = F_nψ_n(x),

определяющее его собственные значения F_n и полную систему ортонормированных функций ψ_n, подчиняющихся определенным граничным условиям. Совокупность величин F_n определяет спектр возможных значений физической величины F. Функция ψ_n(x) характеризует состояние системы, в котором величина F имеет значение F_n. Например, уравнения для собственных функций и собственных значений операторов, _x, _y, _z имеют вид

    Решением первого уравнения является волновая функция

где a(y,z) произвольная функция (y,z).

14. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Как мы знаем осн. величиной, характеризующей состояние микросистемы в квантовой механике явл. волновая функция, которая изменяется со временем. Изменение волновой функции со временем, как следует из постулата №5, описывается уравнением Шредингера.

iℏ(dψ/dt)=Ĥψ (1). Данное уравнение было предложено для описания микросистем Шредингера в 1926 году, уравнение Ш. в квантовой механике выполняет такую же роль, как и уравнения Ньютона в классической механике, это уравнение, как и уравнение Ньютона ниоткуда не выводится. Справедливость данного уравнения устанавливается тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментально. Уравнение Ш. с математической точки зрения явл.уравнением в частных производных. Для однозначного решения этого уравнения нужны дополнительные ограничения. Условия, которые накладывает квантовая теория на на решение уравнения Ш. следующие: физ.смысл могут лишь иметь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния, т.е. сотсояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Можно показать, что волновая функция, описыв.стационарные состояния имеет след. вид: ψ(R,t)=ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t (2). Для того, чтобы получить ур-ия для ф. ψ(R) подставим (2) в (1): iℏ(d[ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t ]/dt)=Ĥ* ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t , решая, получаем: E*ψ(R)=Ĥψ(R) (3). Уравнение (3) называется стационарным уравнением Шредингера. Его можно рассматривать,к ак уравнение на собственную функции, которым соответствует определенное значение энергии. Эти состояния квантовой системы называется стационарным. В отличие от теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Ш. она возникает автоматически. Для этого достаточно учесть, что физический смысл имеют лишь те решения уравнения Ш.,которые удовлетворяют определенным условиям. Эти условия состоят в том, что волновая функция должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой, во всем пространстве даже в тех точках, где потенц.энергия терпит разрыв.

13.Собственные функции и собственные значения.

По своей природе квант.теория явл.вероятностной теорией. И одной из основных задач этой теории явл. вычисление средних значений различных физических величин. Согласно постулату №4 ср.значение любой физ.величины м.б.вычисленно по след. формуле: <E>=(∫dvψ*Êψ)/(∫dvψ*ψ) (1), где Ê-оператор, соотв.физич.величине Е. Несмотря на то, что квантовая теория явл. вероятностной, тем не менее микросистемы могут находиться в таких состояниях в кот.некот.физич. величины имеют определенные значения. Можно показать, что если волновая функция микросистемы явл.решением уравнения: Êψ=Eψ (2), то для этой системы физическая величина Е имеет определенное значение. Функции, явл. решением уравнения (2) называются собств. функциями оператора Е. А значения Е, при которых также решения сущ.назыв.собственными значениями физ.величины Е. Если микросистема находится кот., описывается волновой функцией, удовлетвор.ур-ию (2), то наабор собств. значений для оператора Е определяет значения величины Е, которые могут быть найдены из эксперимента при измерении данной физ.величины. Наборы собств.значений физ.величины Е могут быть как непрерывными, так и дискретными.

Пусть частица массой m находится в состоянии, кот. описыается волновой функцией, удовлетвор.след.уравнению: Ĥψ=Нψ (3). Тогда, как следует из выше изложенного, состояние частицы будет характеризоваться определенным значением энергии, которую можно непосредственно измерить на эксперименте. Найдем с помощью уравнения (2) собственную функцию состояния, в которой проекция импульса на ось х имеет определенное значение, равное P_x, будем считать, что система одномерна, для решения поставленной задачи восп. уравнением(2) в котором вместо оператора Ê пост. оператор Р_х, в результате получим след.уравнение: _xψ=P_xψ (4); -iℏ(dψ/dx)= P_xψ (5). С математической точки зрения (5) представл.собой дифф.уравнение I порядка с разделяющимися переменными, решая которое, получаем: ψ=c₁*e^i(Px/ℏ), где с₁-постоянная интегрирования.

15. частица в одномерной бесконечно глубокой яме

15. Частица в одномерной бесконечно глубокой яме

Рассмотрим поведение частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины a с бесконечно высокими стенками. В интервале от 0 до а будем считать,что потенции.энергия=0,а вне этого интервала потенциальная энергия бесконечна.

(1)

Задача состоит в том,чтобы найти те,значения энегрии, которыми обладает частица,находящаяся в яме. Чтобы найти энергию частицы необходимо решить стационарное уравнение Шредингера

Ĥψ(x)=Eψ(x) (2) ; (Ť+Ŭ)ψ=Eψ (3); → Ťψ=Eψ (4) -(ℏ²/2m)*(d²ψ/dx²)=Eψ (5) Поскольку U вне интервала от 0 до а равна бесконечности, то частица, находящаяся в яме проникнуть сквозь стенки не может, т.е. функция вне интервала от 0 до а равна 0. Поскольку ф-ия явл-ся непрерывной, то в точках х=0 и х=а она должна обращаться в 0: ψ(0)=ψ(а)=0 (6)

Из соотношений 5 и 6 видно,что с матем.точки зрения наша задача состоит в решении дифференц.ур-ия второго порядка с заданными граничными условиями:

(5)↔ -(d²ψ/dx²)=(2Em/ℏ²)ψ (d²ψ/dx²)+k²ψ=0 (7)

Можно показать,что решение ур-ия 7 имеет сле.вид: ψ=Asin(kx)+Bcos(kx) (8), А и В-константы, которые находятся из граничных условий и условия нормировки.

Из 6 следует,что ψ(0)=0 (9) ; Подставляя (8) в (9),получим: ψ(0)= Asin(0)+Bcos(0)=В=0 (10)

(10) в (8) : ψ(x)=Asin(kx) (11); Из (6) → ψ(а)=0 (12); Подставляя (11) в (12): ψ(а)=Аsin(ka)=0 Поскольку А - произвольная константа, она вообще говоря не равна 0 → sin(ka)=0 (13) ka=πn(14)→ k=(π/a)n (15). Подставляя 15 в 11, получаем: ψ(x)=Asin(πnx/a) (16).

Для того,чтобы найти константу А воспользуемся условием нормировки: ∫dxψ*ψ=1 (17)

Подставляя 16 в 17, получаем: A²∫sin²(πnx/a)dx=1 , решая, получаем: A=√(2/a) (19)

Подставляя 19 в 16, получим: ψ(x)= (√(2/a))* sin(πnx/a) (20)

E2m/ℏ²=π²n²/a² → E=π²ℏ²n²/2ma²=(ℏ²/2m)*(π²/a²)*n² (21)

Из 21 следует,что энергия частицы, находящейся в основном(самом низшем) состоянии определяется так: E₁=(ℏ²/2m)*(π²/a²) (22). Из соотношения 22 следует,что энергия частицы,нах-ся в основном состоянии не равна 0.