- •8.Условные вероятности; теорема умножения
- •16.Моменты n-го порядка. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •21. Простейший Пуассоновский поток
- •28.Оценка отклонения теоретического распределения от нормального; асимметрия и эксцесс.
- •30.Дискретные двумерные случайные величины
- •36. Коэффициент корреляции. Связь между…
- •54. Доверительный интервал для оценки мо при нЕизвестной дисперсии
- •56. Проверка статистических гипотез
- •14. Непрерывная св. Плотность распределения.
- •17.Мода, медиана и квантили
- •22.Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.
- •18.Целочисленные св и их производящие функции
- •23 Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
- •24.Геометрическое распределение
- •25. Равномерное распределение
- •29. Совместная функция распределения
- •41.Распределение 2. (“хи-квадрат”).
- •52. Интервальные оценки. Доверительный интервал. Доверительная вероятность.
- •53. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии
- •57. Критерий и его применение.
- •15. Математическое ожидание
- •19.Биномиальное распределение
- •20.Распределение Пуассона.
- •26. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •31.Непрерывные двумерные св
- •32.Зависимые и независимые св,
- •35.Числовые характеристики системы двух св: Моменты начальные и центральные, ковариация.
- •39. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •45. Теореме Чебышева. Теорема Бернулли. Цпт.
- •55.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
- •58. Марковская зависимость испытаний.
- •59. Переходные вероятности.
55.Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном мо.
3) Доверительный интервал для оценки дисперсии при неизвестном МО нормально распределенной генеральной совокупности. Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ . В этом случае в качестве оценки дисперсии используют .
В литературе по математической статистике доказано, что имеет распределение .
По таблице распределения определяются квантили и .
.
.
58. Марковская зависимость испытаний.
Определение цепи Маркова.
Непосредственным обобщением схемы независимых испытаний является схема цепей Маркова.
Пусть производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществляться одно и только одно из k несовместных событий.
верхние индексы обозначают номер испытания.
Опр. Последовательность испытаний образует простую цепь Маркова, если условная вероятность в испытании, где S=1,2,3,K осуществится событию , зависит только от того, какое событие произошло при S-ом испытании и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях. Замечание. Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой физической системе S, которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний A1 ,A2 ,K,Ak и меняет свое состояние только в моменты t1 ,t2 ,K,tn ,K . Для цепей Маркова вероятность перейти в какое-либо состояние , в момент времени tS зависит только от самого и того, в каком состоянии система находилась в момент времени и не изменяется оттого, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты времени.
Пример 1. В модели Бора атома водорода, электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим, через – электрон находится на i орбите и предположим, что изменение состояние атома может наступать только в моменты (в действительности эти моменты представляют собой СВ), то тогда вероятности перехода с i орбиты на j орбиту в момент времени tS зависит только от i и j и не зависит от того на каких орбитах находился электрон в «прошлом».
Разность (i–j) зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент времени tS.
Это пример цепи Маркова с бесконечным числом состояний.
59. Переходные вероятности.
Матрица перехода. Далее будем рассматривать только однородные цепи Маркова, в которых условная вероятность появления события при условии, что в предыдущем S-ом испытании осуществилось не зависит от номера испытания.
Назовем эту вероятность – вероятностью перехода и обозначим .
Полную вероятностную картину возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к следующему можно задать с помощью матрицы
– матрица перехода
Замечание.
Очевидно, что .
Из того, что при переходе из состояния система обязательно переходит в одно из состояний , следовательно, в матрице перехода .
Опр. Любая квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют следующим требованиям:
, называется стохастической.
Одной из главных задач в теории цепей Маркова является задача определения вероятности перехода .
Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером (S+m). В этом испытании осуществится какое-либо одно из возможных событий , тогда вероятность перехода , а вероятность перехода .
По формуле полной вероятности получим
(*)
Обозначим через
Согласно формуле (*) получаем, что .
В частности, когда n = 2, получаем
n = 3
Отметим частный случай формулы (*), когда m = 1
.
Пример 2 Процесс блуждания с отражением.
Пусть частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты времени Частица может находиться в точках с целочисленными координатами . В точках a, b находятся отражающие стенки, каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью p, а влево с вероятностью q, если только частица не находится у стенки. Если частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на 1 внутрь промежутка между стенками.
Получается цепь Маркова с конечным числом состояний.