53. Доверительный интервал для оценки мо при известной дисперсии

1) Доверительный интервал для оценки МО при известной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности.

Пусть – выборочный вектор n–наблюдений СВ Х, где . В качестве оценки для m возьмем . Предположим, что известна. Рассмотрим статистику

.

Статистика .

По таблице нормального распределения найдем квантили и

.

.

.

.

.

Учитывая, что получаем

.

57. Критерий и его применение.

Критерий применяется в частности для проверки гипотез о виде распределения генеральной совокупности.

Процедура применения критерия для проверки гипотезы H₀, утверждающей, что СВ Х имеет закон распределения состоит из следующих этапов.

Этапы:

1. По выборке найти оценки неизвестных параметров предполагаемого закона .

2. Если Х–СВДТ – определить частоты , i = 1, 2, …, r, с которым каждое значение встречается в выборке.

Если Х–СВНТ – разбить множество значений на r – непересекающихся интервалов и попавших в каждый из этих интервалов .

3. Х–СВДТ вычислить .

Х–СВНТ вычислить .

4. .

5. Принять статистическое решение.

– гипотеза Н₀ – принимается.

– гипотеза Н₀ – отклоняется.

e – количество оцениваемых параметров.

Малочисленные частоты надо будет объединять.

Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.

n = 200

А;

№ (x_i-1, x_i) n_i

1 2 – 4 21  =0,05

2 4 – 6 16

3 6 – 8 15

4 8 – 10 26

5 10 – 12 22

6 12 – 14 14

7 14 – 16 21

8 16 – 18 22

9 18 – 20 18

10 20 – 22 25

1.

2.

21 17,3 0,79

16 20 0,8

k = 10 – 2 – 1 = 7

– нет основания отвергать гипотезу о том, что выборка взята из генеральной совокупности и имеет равномерное распределение.

5-6..Размещения и сочетания

Набор элементов xi₁, xi₂, …, xi_n из множества X={x₁,…,x_n} называется выборкой объема r из n-элементов <n, r>-выборка. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан. Замечание:Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными. Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной. В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов. Упорядоченная <n, r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется<n, r>-размещением с повторениями. Упорядоченная<n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>размещением без повторений (<n, r>размещением).Замечание<n,n>-размещения без повторений называются перестановками множества X.Неупорядоченная<n,r>-выборка, в которой элементы могут повторяться, называется <n, r>-сочетанием с повторениями. Неупорядоченная <n, r>-выборка элементы, которой попарно различны, называется <n, r>-сочетанием без повторений (<n, r>-сочетанием).Замечание:Любое <n, r>-сочетание можно рассматривать, как r-элементное подмножество n-элементного множества.

Теорема 1: = n^r Доказательство: Каждое <n,r>-размещение с повторениями является упорядоченной последовательностью длины r. Причем каждый элемент этой последовательности может быть выбран n-способами. По правилу произведения получаем = nnn .. n =n^r .

Теорема 2: .

Доказательство:Каждое <n,r>-размещение без повторений является упорядоченной последовательностью длины r. По правилу произведения получаем

.

Теорема 3:

Доказательство:Каждое <r,r>-сочетание без повторений можно упорядочить r!-способами. Объединение получаемых таким образом попарно непересекающихся множеств <n,r>-размещений без повторений для всевозможных <n,r>-сочетаний без повторений, даст все <n,r>-размещения без повторений.

(суммирование производится по всевозможным <n,r>-сочетаниям без повторений).

.

Теорема 4: =

7. Геометрические вероятности .Задача Бюффона.Геометрические вероятности – класс моделей вероятностных пространств, дающий геометрические вероятности. Пусть Ω={ω} – ограниченное множество n-мерного евклидова пространства с конечным n-мерным объёмом. Событиями назовём подмножества Ω, для которых можно определить n-мерный объём. Для любого A  A положим P(A)=A/  Ω , где |V|-n-мерный объем множества V  A.Это вероятностное пространство служит моделью задач, в которых частица случайно бросается в область Ω. Предполагается, что положение частицы равномерно распределено на множестве Ω, т. е. вероятность попадания частицы в подмножество A пропорциональна n-мерному объёму этой области. Замечание:В классе конечных вероятностных пространств в систему A входили все подмножества Ω. При геометрическом определении вероятности в качестве A уже нельзя взять все подмножества Ω, так как некоторые из них не имеют n-мерного объёма. Примеры: 1) Стержень разламывается на две части в случайной точке, равномерно распределённой по длине стержня. Найти вероятность того, что длина меньшего обломка окажется не больше трети длины всего стержня. Обозначим за x расстояние от фиксированного конца стержня до точки излома. .

Задача Бюффона:Плоскость расчерчена па-раллельными прямыми, расстояние между которыми равно a. На плоскость наудачу брошена игла длины l (l<a). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую. Решение:. Пусть y – расстояние от центра иглы до ближайшей прямой (0y a/2), а x – ост-рый угол, составленный иглой с этой прямой (0x π2). Пара чисел (x, y) задаёт положение иглы с точностью до выбора конкретной прямой. –игла пересекает прямую.

12. Случайные величины и законы их распределения Пусть (Ω, A, P)–произвольное вероятностное пространство. Определение: Числовая функция X=X() от элементарного события  называется случайной величиной (СВ), еслиxR: {X<x}={X()<x} A (*) Комментарий: Смысл определения состоит в следующем: поскольку не любое подмножество пространства Ω является событием, и все события составляют -алгебру подмножества A, то, естественно, рассматриваются только такие функции X=X(), для которых имеет смысл говорить о вероятности попадания X=X() в достаточно большие числовые множества. Свойство (*) гарантирует, что для любого X неравенство X<x есть событие, а, значит, имеет смысл говорить о его вероятности. Замечание: Если вероятностное пространство (Ω,A,P) является конечным, то случайной величиной называется любая числовая функция от элементарного события. Определение: Множество возможных значений случайных величин X называется область значений числовой функции X(). Если это множество является конечным или счетным, то случайная величина называется случайной величиной дискретного типа (СВДТ). Если это множество является несчетным, то случайная величина называется случайной величиной непрерывного типа (СВНТ). Пример 1: СВДТ. Опыт – бросание игральной кости. СВ X – число выпавших очков. Множество значений – {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Пример 2: СВНТ. Опыт – дважды измеряется емкость конденсатора, с помощью точных приборов. СВ X – разность между результатами первого и второго измерений. Законом распределения СВ называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной.Если случайная величина X имеет данный закон распределения, то мы будем говорить, что она распределена по этому закону (подчинена этому закону распределения).Наиболее простую форму можно придать закону распределения СВДТ, обычно этот закон задается рядом распределений.Рядом распределений СВДТ Х называется таблица

X x₁ x₂ ... x_n

P p₁ p₂ ... p_n

p_i=P{X= x_i }, x₁<x₂<…< x_n<..

Так как {X= x₁ },{X= x₂ },... – попарно несовместны, и сумма этих событий образует . .

С помощью этой таблицы можно найти вероятности любых событий.

Пример

X 1 3 5 7

P 0,1 0,3 0,2 0,4

P{-3X4}=0,1+0,3=0,4

Часто бывает удобно иметь графическое изображение ряда распределения, так называемый многоугольник ряда распределения.

Часто удобной бывает механическая интерпретация СВДТ.

P₁ +P₂ +P₃+P₄=1

Аналитическое задание СВДТ