15. Математическое ожидание

Пусть вероятность P на конечном вероятностном пространстве (, A , P) определяется с помощью элементарных вероятностей .

Опр. МО случайной величины называется сумма

Замечание. В литературе математическое ожидание часто называют средним значением X.

Из определения МО –­ вытекают следующие свойства

Свойства:

1. .

Доказательство:

2. Аддитивность: .

Доказательство:

Замечание.

Из свойства 2 по индукции выводится свойство конечной аддитивности.

3. .

Доказательство:

4. Если , то .

Доказательство:

По свойствам 2 и 3

.

5. МО СВ X выражается через ряд распределения СВ X с помощью формулы

Доказательство:

Так как СВ , тогда .

Пусть – некоторая числовая функция, подставляя вместо аргумента x СВ Х, получим новую СВ

– ?

1 способ. С помощью закона распределения Y;

2 способ. С помощью формулы

.

Докажем формулу для .

.

Все дальнейшие выкладки повторяют свойство 5.

19.Биномиальное распределение

Опр.СВДТ Х имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения 0,1,2,…,m,.,n,а соответствующие вероятности

p_m=P{X=m}=C_n^m p^mq^n–m m=0,1,..,n (0<p<1,q=1–p)

Это распределение зависит от двух параметров: n, p.

В литературе X~B(n,p). Рассмотрим условия, при которых возникает биномиальное распределение.

Пусть производится n независимых опытов (испытаний), в каждом из которых событие А (“успех”) появляется с вероятностью p, СВ Х – это число успехов при n-опытах. Коментарии: Опыты называются независимыми, если вероятность какого-либо исхода каждого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Покажем, что СВ Х имеет биномиальное распределение.B={x=m} – это количество успехов в n опытах , равно m. Событие B распадается на ряд вариантов, в каждом варианте успех достигается m раз, а неуспех n–m раз.

Если успех ставим в соответствие 1. Если неуспех ставим в соответствие 0. 0,1,1,…,0,1 – всего n чисел

m штук – “1” ; n–m штук – “0”. Так как опыты независимы, то каждый такой вариант имеет вероятность P=p^m(1–p)^n–m (по теореме умножения), а всего таких вариантов C_n^m штук, причем все такие варианты несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий следует. P(B)=P{X=m}= C_n^m p^m(1–p)^n–m

Найдем важнейшие числовые характеристики X~B(n,p). Воспользуемся производящей функцией

Возьмем производную по S.

;

;

20.Распределение Пуассона.

Опр. СВДТ Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, m, … (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой

P_m=P{X=m}=(a^m/m!)e^-a.

Замечание.Закон Пуассона зависит только от a, смысл этого параметра состоит в следующем, он одновременно является МО и дисперсией СВ Х.

;

; D_X=a²+a– a²=a; _X=a

Рассмотрим условия, при которых возникает Пуассоновское распределение. Покажем, что оно является предельным, для биноминального распределения при n и одновременно р0, но nра (а~0,1–10).

Теорема (Пуассона).

Если n, р0, но npа, то  фиксированного значения m, где m=0,1,…

.

Доказательство.

 фиксированного значения m.

.

Комментарии:Так как n-велико, а вероятность p - очень мала, то в каждом отдельном опыте “успех” приходит редко.Поэтому закон Пуассона в литературе называется законом редких явлений.Пример:Завод отправил на базу n=5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится p=0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.Решение. n=5000. p=0,0002. np=1=a Имеются специальные таблицы, спомощью которых можно найти P{X=m}.