14. Непрерывная св. Плотность распределения.

Опр.Функция есть плотность распределения СВ X, если

(***)

Из определения (***) следуют свойства плотности распределения.

Свойства 1.

Замечание.

Для СВ X имеющей функции. Плотности из свойства 1 и теоремы из курса математического анализа (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом)  что непрерывна.

2. в точках непрерывности .

3. .

4. , т.к. неубывающая функция, то .

5. Условия нормировки: .

Опр. СВ X называется СВНТ, если ее распределение имеет функцию плотности .

Через плотность можно выразить любую вероятность

17.Мода, медиана и квантили

МО не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей.

Опр. Модой СВДТ Х называется такое возможное значение x_m, для которого =x_m.

Модой СВНТ Х называется действительное число d_X, являющееся точкой максимума функции плотности вероятностей (f_X (x))

Пример.

X 0 1 2 3 4

P 0,05 0,3 0,25 0,2 0,2

d_X=1 Замечание.

Мода может не существовать, иметь единственное значение, такие распределения называются унимодальное, или иметь множества значений – полимодальное распределение.

Наличие более чем одной моды, часто указывает на разнородность статистического материала, который положен в основу исследований.

Опр.Медианой СВ Х называется действительное число h_X, удовлетворяющее условию: , то есть это корень уравнения F_X (x)=1/2.

Эта характеристика применяется, как правило, только для СВНТ и геометрически медиана, это абсцисса той точки на оси ОХ, для которой площади под графиком f_X (x)лежащие слева и справа от нее одинаковы и равны 1/2

Замечание.

В случае симметричного распределения (имеющего моду) три характеристики: 1) МО ; 2) мода; 3) медиана совпадают.

Замечание.

Уравнение F_x(x)=1/2 может иметь множество корней, поэтому медиана может определяться неоднозначно.

Опр. Квантильлью порядка р распределения СВНТ Х называется действительное число t_p, удовлетворяющее уравнению P{X<t_p}=p

Замечание.

Медиана h_x=t_0,5 – квантиль порядка 0,5.

22.Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Биномиальное распределение имеет МО равное np .

Пусть p – не близко к 0 и 1.

Теорема.

Если в схеме независимых испытаний , то для любого C>0 равномерно по всем вида , где m – неотрицательные целые числа

Замечание.

Эти таблицы даются, только для x>0.

18.Целочисленные св и их производящие функции

В ряде случаев при определении важнейших числовых характеристик дискретных СВ может помочь аппарат производящих функций.

Опр. Дискретную СВ Х, принимающую только целые, неотрицательные значения называют целочисленной СВ.

Закон распределения целочисленной СВ определяется .

Закон распределения целочисленной СВ удобно изучать с помощью производящей функции, которая определяется, как

.

В соответствии с определением МО: .

Этот ряд сходится абсолютно при .

Поскольку , то между законом распределения и производящими функциями устанавливается взаимноодноз-начное соответствие.

Замечание – вероятностная производящая функция.

В математике рассматриваются произвольные производящие функции.

a₀, a₁ ,a₂...

a₀ +Sa₁ +S²a₂ +… – производящая функция, если она имеет не нулевой радиус сходимости.

Замечание

Возьмем первую производную по S от производящей функции.

,подставим значение S = 1.

.Возьмем вторую производную по S от производящей функции

. .

.

То есть можно выразить начальные моменты более высокого порядка, через начальные моменты более низкого порядка.