11. Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями. Формирование понятия осуществляется в несколько этапов: 1.мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);2.выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия); 3.формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объему понятия).

Классификация понятий: Понятие считается составным, если оно опирается на другие понятия, и элементарным в противном случае.

1) через ближайший род и видовые отличие (ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны);

2) конструктивные (генетические) – показан способ конструирования объектов, принадлежащих данному понятию (окружность, биссектриса, осевая и центральная симметрия);

3) определение — условное соглашение (используются в школьном курсе математики при расширении понятия числа);

4) индуктивные (рекуррентные) – указываются базисные понятия некоторого класса и правила получения новых объектов этого же класса (арифметическая прогрессия);

5) отрицательные (определение параллельных прямых);

6) аксиоматические или косвенные (через систему аксиом; длина, площадь, объем).

Каждое понятие характеризуется объемом понятия (т. е. множеством объектов) и содержанием понятия (т.е. признаками, присущими всем объектам этого множества). Содержание понятия раскрывается с помощью определения. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В математике понятие часто обозначается не только термином, но и символом.

Пример 1. Содержанием понятия «четное число» является признак «число, делящееся на 2». Объем понятия «четное число» - множество всех четных чисел. Это множество бесконечное.

Пример 3. Содержанием понятия «уравнение» является признак «равенство, содержащее переменную». Объем этого понятия - множество уравнений. Это множество бесконечное (даже одних только линейных уравнений- бесконечное множество).

Умение указать объем понятия, наиболее характерных его представителей формируется с помощью заданий такого типа: «Приведите примеры различных треугольников (параллелограммов, десятичных дробейи т.д.)».

Умение указать содержание понятия формируется с помощьюзаданий следующего вида: «Скажите, что такое треугольник (круг,рациональное число)», «Сформулируйте определение треугольника (круга, рационального числа)», «Что называется треугольником, (кругом, рациональным числом)».

Закон обратного отношения. Имеет место закон обратногоотношения между объемом и содержанием понятия: если объем одного понятия включает в себя объем другого понятия, то содержание первого понятия является частью второго.

Пример 4. Сравним объемы (и содержания) понятий «равнобедренный треугольник», «равносторонний треугольник».

Объем понятия равнобедренного треугольника шире объема понятияравностороннего треугольника - множество равносторонних треугольников включается в множество равнобедренных треугольников. Содержание же понятия равнобедренного треугольника является частью содержания понятия равностороннего треугольника: в определении равностороннего треугольника указывается равенство всех трех сторон, а в определении равнобедренного хотя бы двух сторон.

Классификация. Детальное изучение объема понятия часто осуществляется с помощью классификации. Классификация представляет собой последовательное, многоступенчатое разбиение множества на два класса с помощью некоторого свойства (двучленное деление или «дихотомия» в терминах традиционной логики).

Система понятий. С помощью определений устанавливаются логические связи между понятиями, строится система понятий. Например, понятие параллелограмма определяется через понятия четырехугольника и параллельности отрезков. Понятие четырехугольника, в свою очередь, определяется через понятия фигуры,точки, отрезка... Продолжая этот анализ дальше, придем к исходным(неопределяемым) геометрическим понятиям. В итоге выявляется система понятий, приводящая к понятию параллелограмма.

Требование принципа научности. Встречаются нарушенияэтого принципа.

Типичные ошибками:

1. Всякое определение должно быть соразмерным, т. е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определя­ющего понятия.

2. Определение не должно заключать в себе «порочного круга», т. е. нельзя строить определение так, чтобы определяемое понятие определялось (скрытым или явным образом) посредством того же самого определяемого понятия.

3. Определение по возможности не должно быть отрица­тельным. Эго означает, что следует избегать таких определе­ний, которых видовое отличие выступает в качестве отрицатель­ного понятия.

Основная причина ошибок учеников в непрочности знаний. Определения должны быть точными и сохраненными в долгосрочной памяти школьника. Он не должен путать определение с другими математическими понятиями. Ошибки необходимо всегда замечать.

Для исправления полезны устные опросы в начале урока, взаимоопрос учеников, повторение понятийного аппарата в процессе решения задач и доказательсьва теорем.