20 Классическая и квантовая теплоемкость решетки. Дебаевская температура.

В тв. телах существует два типа объектов, которые влияют на термодинамические свойства: носители зарядов и решетка.

В диэлектриках все термодинамическое св-ва определяется фононами (т.к. там нет своб. носителей заряда)

Расчет теплоемкости решетки:

; ; Фактически

; где - вклад в энергию нулевых колебаний(он не дает вклада в теплоемкость, будем им пренебрегать)

С огласно классическим теории на каждую степень свободы приходится

;

Рассмотрим область низких температур

Если оптические моды вклада давать не будут, т.к. exp будет велика в формуле для <E> тогда можно представить

Если считать температуру низкой, то

; - при низких T вклад в теплоемкость фотонного газа

С_V фотонного газа аналогично изучению абсолютно тв. тела (з. Стефана-Больцмана для абсолютно черного тела)

При этом форм. для излучения черного тела на языке фононов всегда соответствует пределу крайне низких Т, т.к. выполняется для всех фотонов.

В классической теории существует проблема «ультрафиолетовой » катастрофы, связанной с увеличением числа частиц. Квантовая механика решила эту проблему за что знаменателя

Вычисление теплоемкости дял промежуточных температур.

Существуют две модели:

1)Эйнщтейна (рассматривает оптические моды колебаний , все колебания практически одинаковы)

20-1

21-1

21. Эффект Мессбауэра и фактор Дебая-Уоллера.

I – интенсивность рассеяния или дифракции рентгеновского излучения

Роль начального и конечного состояний играют:

- но тогда Лауэ считал, что атомы неподвижны;

– сумма по элем. яч.

- электронная плотность по отношению к центру

полное распределение электронной плотности ячейки

- атомный форм-фактор (интеграл можно вынести за знак Σ)

Выполним усреднение по всем возможным конфигурациям. Обозначим термодинамическое усреднение.

термодинамические максимумы не зависят от ячейки => выносим за знак Σ

р

изменение амплитуды рассеяния

фактор Дебая-Уоллера

езкие максимумы сохраняются

0

u²- среднеквадратичное смещение;

независящая от Т, определяется атомным форм-фактором

- определяет среднюю потенциальную энергию колебаний

22-1

22. Ангармонические эффекты в кристаллах. Тепловое расширение.

А

ф-ция распред. Максвелла-Больцмана

норм. константа

нгармонические эффекты – эффекты, связанные с выходом за рамки гармонического приближения.

гармоническое приближение

ангармонические эффекты

К ак правило, вклад ангармонических слагаемых мал. Но существует ряд эффектов, само существование которых обуславливает ангармонические эффекты:

1) уширение однофононных максимумов в сечении неупругого рассеяния нейтронов;

2) тепловое расширение;

3) теплопроводность.

С точки зрения квантовой теории ангармонические эффекты приводят к взаимодействию фононов.

операторы уничтожения и рождения фононов

Квантовый гамильтониан фононов записывается следующим образом:

Тепловое расширение – еще один из ангармонических эффектов.

Кристалл не расш. без учета ангарм. членов, т.к.

(х – обобщенная координата)

Рассмотрим изменение среднего смещения с изменением Т:

- в ангарм. приближении (коэф. условны)

- при больших х становится меньше, но не имеет минимума

=> необходимо учитывать члены 4-го порядка

23-1

23. Теплопроводность решетки. Процессы переброса.

В диэл. и в значительной степени в п/п тепловодность кристалла определяется фононами. Для описания теплопроводности можно воспользоваться формулами МКТ:

Скорость фиксир. и при низких Т определяется скоростью звука

В гармоническом приближении фононы не взаим. друг с другом => рассеяние происходит только дефектах или на пов-ти образца конечных размеров. Т.е. в идеальном бесконечном кристалле но ангарм. члены в потенц. энергии приводят к рассеянию фононов.

Следует различать 2 вида процессов рассеяния:

1 ) нормальные процессы

N-процессы

2) процессы переброса

закон сохранения квазиимпульса выполняется с точностью до - вектора обр. решетки. Сохранение импульса возникает из инвариантности пространства относительно сдвига

Норм. процессы не приводят к ограничению теплопроводности, не меняют потока тепла. И только процессы переброса приводят к возникновению теплового сопротивления.

Матричный элемент описывает взаимодействие:

В крист. процессы рассеяния со сдвигом не приводят к нарушению закона сохр. импульса. Не возникает теплового сопротивления в процессах переноса.

I з. Брил.:

24-1

24. Взаимодействие эл-нов с колебаниями решетки. Деформационный потенциал.

Взаимодействие эл-нов с фононами имеет те же механизмы, что и взаимодействие со статичными атомами.

1) деформационный потенциал:

при смещении ат. решетки изменение межат. расстояния и углов м/у связями изменяет энерг. спектр крист., а следовательно и энергию эл-нов

П

n, n+1 – атомы

роще всего это понять в ППС:

2) Поляризационное взаимодействие

В ионных крист. при смещении атомов возникает эл-я поляризация элем. ячейки и связанное с ней эл. поле, кот. также изменяет энергию носителей заряда. При акустических колебаниях поляриз. ячейки не возникает (ат. смещ. синфазно) => они взаимодействуют с эл-нами посредством деформационного потенциала.

При оптических колебаниях атом. в ячейке смещ-ся друг относительно друга, взаимодействие опт. колебаний с эл-нами осуществляется как посредством деформ. потенциала, так и поляриз. взаимодействия. Т.к. дипольный момент ячейки меняется.

Ясно, что взаимодействие эл-нов с колебаниями и смещениями решетки не может меняться, т.к. тогда бы взаимодействие менялось и при сдвиге крист. как целого. Определяется только относительным смещением:

- симметричный тензор 2-го ранга, тензор деформации.

С иловые взаимодействия характеризуются тензором напряжений

Энергия – скаляр, её можно связать либо с деформацией, либо с напряжениями:

В главных осях:

В

след матрицы

случае, если точка лежит на оси симметрии

- относительное изменение объема кристалла при деформации;

2 ) Дебая ( );

-число степеней свободы в этой сфере интегрирование равно числу степ. в кристалле.)

- объем для каждого фонона.

(главное чтобы не менялось число степеней свободы)

- предел интеграла по Дебаю. ( )

- Дебаевская частота, соответствует максимальной возможной частоте колебаний решетки.

, Дебаевская температура- это температура, прм которой в системе возбуждены все нормальные моды и все фононы. (Si 625 k, Ge 360 K, Алмаз 1860 K)

20-2

Сопоставим 2 способа описания колебаний решетки, классич. и квантовомеханический:

Классический	Квантовомеханический
нормальные моды колебаний	Фононы данного типа
число различных норм. мод =3nN	число различных фононов =3Nn
типы мод: 3 – акуст., 3(n-1) – оптические	типы фононов: 3 – акуст., 3(n-1) – оптические
	– квазиимпульс, N значений
частота	Энергия
Амплитуда норм. мод:	Число фононов данного типа:

Экспериментальные методы исследования фононного спектра.

Чтобы определить закон дисперсии фононов необходимо подобрать такое воздействие, эн. кот. будет соответствовать энергии фононов. Макс. энергия фононов опр-ся

Основной метод: рассеяние нейтронов.

Рассеяние света на акустических колебаниях – Бриллюэновское, а рассение на оптических фононах – рассеяние Мандельштама-Рамана (рамановское рассеяние), комбинационное рассеяние.

М

Бриллюэновское:

етодика определения з-на дисперсии связана с измерением волн. вектора, энергии и частоты воздействия света.

На самом деле миним. в рассеянии нейтроны не острые, а имеют конечную величину. Т.е. энергия фонона имеет некоторую неопределенность. Эта неопределенность связана с взаимодействием фононов, кот. приводит к конечности их времени жизни.

– время жизни;

Взаимодействие фононов, приводящее к рождению и уничтожению фононов, возникает в результате ангарионических взаимод. решетки.

11-2

19-2

18-2

- Фурье – образ сил. Тензора

} – 3n ур.

г.у. Борли – Кармана:

Введём новые переменные:

;

Получим симметризованную систему:

Берём стандартное решение данной систему;

условие разрешимости данной ам. системы равенству 0 определителя:

- собственный вектор

Собственный вектор и собственные значения динамической матрицы описывают независимые гармонические колебания кристалла, которые называются нормальными модами (с заданной частотой )

Любые колебания кристалла можно представить в виде суперпозиции нормальных мод с заданным q (для волны) 3n. Полное число нормальных мод 3nN.

Существенно, что компенсация силового тензора зависит от q, то и .

Зависимость называется законом дисперсии данной нормальной моды.

24-2

- деформационные потенциалы;

всестороннее сжатие, растяжение

сдвиг

Для зоны проводимости в Si: В отсутствие деформации в зоне проводимости Si 6 эквив. эллипсоидов проводимости.

При одноосном сжатии вдоль оси z:

Эллипс, для которых - опускаются вниз, для которых - поднимаются вверх.

Э ллипсоиды 1,2 опускаются; 3,4,5,6 – поднимаются:

для зоны проводимости

для валентной зоны

В валентной зоне: при деформации снимается вырождение, зоны легких и тяжелых дырок расщепляются. Подвижность увеличивается.

Эти эффекты используются для управления подвижностью в гетероструктурах. Гетероструктура – граница 2-х материалов, решетка одного переходит в решетку другого. На гетеропереходе происх. разрыв краев зон:

для идеального контакта постоянные решетки 2-х материалов должны быть близки друг другу. В противном случае возник. эл. напряжение, что приводит к образованию дислокаций. Если один из слоев – тонкий, то такая гетероструктура наз-ся напряженной

подл. Si (задает постоянную решетки):

23-2

п ри очень низких Т , т.е. определяется C_V, т.к. процессы переброса вымерзают, нет фононов, кот. в них участвовали бы. Длина свободного пробега определяется размерами образца.

При низких, но не сильно, температурах число фононов, способных участвовать в проц-х переброса растет экспоненциально:

Интрига заключается в том, положение атомов в решетке – ф-ция времени В каждый момент времени периодичность отсутствует.

22-2

- КТР (коэф. температурного расширения);

γ – параметр Грюнайзена, кот. зависит от производной закона дисперсии по объему

Термическое расширение возникает в следствие зависимости частоты фононов от объема системы.

Критерий Линдемана

Критерий устойчивости кристаллической решетки.

– для подавляющего большинства твердых тел решетка теряет устойчивость. (m – melting, плавление)

21-2

1. Высокие температуры. Возбуждены все моды.

M – масса атома;

2. Низкие температуры.

Фактор Дебая-Уоллера определяет долю упругих процессов при рассеянии. Упругий хар-р процесса означает, что при рассеянии не происходит возбуждения фононов. А импульс передаётся кристаллу как целому. Соответствующее этому изменение энергии кристалла ничтожно мало Рассеяние носит упругий хар-р.

На этом основан эфф. Мессбауера (ядерный γ-резонанс): испускание или поглощение γ-квантов атомными ядрами твердого тела без отдачи, т.е. без испускания или поглощения фононов.

γ-квант – это квант с энергией >100кэВ, ћω>100кэВ;

Вероятность эффекта Мессбауера определяется фактором Дебая-Уоллера. И вероятность эффекта Мессбауера тем больше, чем больше Ө_D. С ростом Т вероятность эффекта Мессбауера падает.