4.1.6. Однородные координаты

Выше был рассмотрен ряд преобразований, совершаемых с помощью (22)-матрицы общего преобразования. Среди них – поворот, отражение, масштабирование, сдвиг и другие. Ранее отмечалось, что исходная система координат инвариантна по отношению ко всем перечисленным преобразованиям. Однако возникает необходимость изменять положение начала координат, т. е. преобразовывать каждую точку на плоскости. Этого можно достичь путем перемещения точки начала координат или любой другой точки на плоскости

x^*= ax + cy + m,

y^*= bx + dy + n.

К сожалению, нельзя ввести константы перемещения m и n в (22)-матрицу преобразования, так как это не пространство!

Данное затруднение можно преодолеть, используя однородные координаты.

Однородные координаты неоднородного координатного вектора [х у] представляют собой тройку [x′ y′ h], где х = х′/h, y = y′/h, a h – некоторое вещественное число. Заметим, что случай h = 0 является особым. Всегда существует один набор однородных координат вида [х у 1]. Выбрана эта форма, чтобы представить координатный вектор [х у] на физической плоскости ху. Все остальные однородные координаты представляются в виде [hx hy h]. Данные координаты не сохраняют однозначности, например, все следующие координаты [6 4 2], [12 8 4], [3 2 1] представляют физическую точку (3,2).

Матрица преобразования для однородных координат имеет размер 33. В частности,

(4.48)

где действие элементов a, b, c и d верхней части (22)-матрицы точно соответствует действиям, рассмотренным ранее. Элементы m и n являются коэффициентами перемещения в направлениях х и у соответственно. Полная двумерная матрица преобразования имеет вид

(4.49)

Отметим, что каждая точка плоскости и даже начало координат х = у = 0 теперь могут быть преобразованы.

4.1.6.1. Геометрическая интерпретация однородных координат

Матрицу преобразования размером 33 для двумерных однородных координат можно разбить на четыре части

. (4.50)

Напомним, что a, b, c и d – коэффициенты масштабирования, вращения, отражения и сдвига соответственно. Элементы m и n задают перемещение. В предыдущих подразделах коэффициенты имели значения p = q = 0 и s = 1. установим величины p и q не равными 0. какой эффект получится? В данном случае полезно рассмотреть геометрическую интерпретацию.

При p = q = 0 и s = 1 однородные координаты преобразованных векторов всегда равны h = 1. геометрически данный результат интерпретируется как ограничение преобразования физической плоскостью h = 1.

Для иллюстрации эффекта преобразования при p и q, отличных от нуля, рассмотрено следующее выражение:

. (4.51)

Здесь X = hx, Y = hy и h = px + qy + 1. преобразованный координатный вектор, выраженный в однородных координатах, лежит теперь в трехмерном пространстве, определенном как h = px + qy + 1. Это преобразование показано на рис. 4.13, где отрезок АВ, принадлежащий физической плоскости h = 1, преобразуется в СD со значением h ≠ 1, т. е. pX + qY – h + 1 = 0.

Однако представляют интерес результаты, принадлежащие физической плоскости с h = 1, которые можно получить путем геометрического проецирования прямой CD с плоскости h ≠ 1 обратно на плоскость h = 1 с использованием для этого проецирующих лучей, проходящих через начало координат. Из рис. 4.13, используя правило подобия треугольников, получим