4.3.1.2. Параметрические кривые

В параметрическом виде каждая координата точки представлена как функция одного параметра. Значение параметра задает координатный вектор точки на кривой. Для двумерной кривой с параметром t координаты точки

x = x(t),

y = y(t).

Тогда векторное представление точки на кривой:

.

Чтобы получить непараметрическую форму, нужно исключить t из двух уравнений и вывести одно в терминах х и у.

Параметрическая форма позволяет представить замкнутые и многозначные кривые. Производная, т. е. касательный вектор, есть

,

где ' обозначает дифференцирование по параметру. Наклон кривой, dy/dx, равен

.

Отметим, что при x’(t) = 0 наклон бесконечен. Параметрическое представление не вызывает в этом случае вычислительных трудностей, достаточно приравнять к нулю одну компоненту касательного вектора.

Так как точка на параметрической кривой определяется только значением параметра, эта форма не зависит от выбора системы координат. Конечные точки и длина кривой определяются диапазоном изменения параметра. Часто бывает удобно нормализовать параметр на интересующем отрезке кривой . Осенезависимость параметрической кривой позволяет с легкостью проводить с ней аффинные преобразования, рассмотренные в разд. 2 (ч. 1).

На рис. 4.21 сравниваются непараметрическое и параметрическое представления окружности в первом квадранте.

Непараметрический вид

, .

Точки на дуге соответствуют равным приращениям х. При этом дуга состоит из отрезков разной длины, и получается весьма приблизительное графическое представление окружности. Кроме того, расчет квадратного корня – вычислительно дорогостоящая операция.

Стандартная параметрическая форма единичной окружности:

,

или

, . (4.67)

,

.

Рис. 4.21

Параметр θ – геометрический угол, отмеряемый против часовой стрелки от положительной полуоси х. На рис. 4.21, б изображена дуга, построенная по равным приращениям параметра в пределах 0 ≤ θ ≤ /2. При этом точки располагаются на одинаковом расстоянии вдоль окружности, и окружность выглядит гораздо лучше. Недостаток такого представления – сложность вычисления тригонометрических функций.

Параметрическое представление кривой не единственно, например,

, , (4.68)

также представляет дугу единичной окружности в первом квадранте (рис. 4.21, в). Связь между параметрическим представлением показана на рис. 4.22. Из него видно, что для единичной окружности

, , ,

, , .

Факт, что уравнение 4.68 представляет дугу единичной окружности, подтверждается следующим:

где r – единичный радиус.

Н

Рис. 4.22

а рис. 4.21, в показан результат для равных приращений t. Он лучше, чем у явного, но хуже, чем у стандартного параметрического представления (4.67). Однако уравнение (4.68) проще с вычислительной точки зрения, т. е. это компромиссное решение.

В случае более сложного параметрического представления бывает удобнее искать значение явной переменной итеративными методами.

Параметрические представления конических сечений осенезависимы и дают более качественное изображение, чем непараметрические; однако оба имеют свои достоинства и недостатки и часто применяются в машинной графике.