- •Инженерная геометрия
- •Часть 3
- •Краткое содержание конспекта лекций
- •Часть 1
- •Часть 2
- •Часть 3
- •Оглавление Введение 5
- •Введение
- •4. Элементы вычислительной геометрии
- •4.1. Геометрические преобразования на плоскости
- •4.1.1. Преобразование точек и линий
- •4.1.1.1. Изображение и преобразование точек
- •4.1.1.2. Преобразование прямых линий
- •Пример 1. Средняя точка прямой
- •4.1.2. Преобразование параллельных и пересекающихся прямых
- •Пример 2. Пересекающиеся прямые
- •4.1.3. Преобразование: поворот, отражение, масштабирование
- •4.1.3.1. Поворот
- •4.1.3.2. Отражение
- •Пример 3. Отражение и вращение
- •4.1.3.3. Масштабирование
- •Комбинированные преобразования
- •4.1.5. Преобразование единичного квадрата
- •4.1.6. Однородные координаты
- •4.1.6.1. Геометрическая интерпретация однородных координат
- •Пример 6. Проецирование в однородных координатах
- •4.1.6.2. Геометрическая интерпретация пропорционального масштабирования
- •4.1.6.3. Точки бесконечности в однородных координатах
- •4.1.7. Перемещения
- •4.1.7.1. Поворот вокруг произвольной точки
- •Пример 7. Поворот относительно произвольной точки
- •4.1.7.2. Отражение относительно произвольной прямой
- •Пример 8. Отражение относительно произвольной прямой
- •4.1.8. Правило выполнения преобразований
- •4.2. Пространственные преобразования
- •4.2.1. Трехмерное масштабирование
- •4.2.2. Трехмерное вращение вокруг осей координат
- •4.2.3. Поворот вокруг оси, параллельной координатной оси
- •4.2.4. Поворот вокруг произвольной оси в пространстве
- •4.2.5. Отражение в пространстве
- •4.2.6. Аффинные и проективные преобразования
- •4.3. Плоские и пространственные кривые. Поверхности
- •4.3.1. Представление плоских кривых
- •4.3.1.1. Непараметрические кривые
- •4.3.1.2. Параметрические кривые
- •Непараметрический вид
- •4.3.2. Представление пространственных кривых
- •4.3.3. Представление поверхностей
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Учебное издание
- •Инженерная геометрия
- •Часть 3
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
Пример 1. Средняя точка прямой
Рассмотрим отрезок АВ на рис. 4.2. Положение векторов конечных точек такое: [А] = [0 1], [В] = [2 3]. Преобразование осуществляется перемещение вектора на линию А*В*:
Средняя точка А*В* будет иметь координаты
.
Координаты средней точки линии АВ
Преобразуем среднюю точку и получим
что полностью эквивалентно предыдущему результату.
Применением этих результатов в машинной графике любая прямая может быть преобразована в любую другую путем простого преобразования ее конечных точек и восстановления линии между ними.
4.1.2. Преобразование параллельных и пересекающихся прямых
Результатом преобразования двух параллельных линий с помощью (22)-матрицы снова будут две параллельные линии. Это можно увидеть, рассмотрев линию между точками [А] = [х1 у1], [В] = [х2 у2] и параллельную ей линию, проходящую между точками E и F. Покажем, что для этих линий любое преобразование сохраняет параллельность. Так как AB,EF и A*B* и E*F* параллельны, то угол наклона линии AB и EF определяется следующим образом:
(4.16)
Преобразуем конечные точки АВ, воспользовавшись матрицей общего преобразования размером (22):
. (4.17)
наклон прямой А*В* определяется следующим образом:
или
(4.18)
Так как наклон m* не зависит от x1, x2, y1, y2, а m, a, b, c и d одинаковы для EF и AB, то m* одинаково для A*B* и E*F*. Таким образом, параллельные линии сохраняют параллельность и после преобразования. Это означает, что при преобразовании (22) параллелограмм преобразуется в другой параллелограмм. Эти тривиальные выводы демонстрируют большие возможности использования матрицы преобразования для создания графических эффектов.
Результатом преобразования с помощью (22)-матрицы пары пересекающихся прямых линий также будет пара пересекающихся линий. Проиллюстрируем этот факт на примере двух прямых, изображенных на рис. 4.3 штриховой линией и заданных уравнениями
y = m1x + b1
y = m2x + b2.
Рис. 4.3
В матричном представлении эти уравнения будут иметь вид:
.
или [X] [M] = [B]. (4.19)
Если существует решение этой системы уравнений, то линии пересекаются, в противном случае они параллельны. Решение можно найти путем инверсии матрицы. В частности,
[Хj] = [xj yj] = [B] [M]-1. (4.20)
Матрица, обратная [М], имеет следующий вид:
(4.21)
так как [М] [М]-1= [I], где [I] – единичная матрица. Поэтому координаты точки пересечения двух линий можно найти следующим образом:
(4.22)
Если обе линии преобразования с помощью (22)-матрицы общего преобразования вида
,
то их уравнения будут иметь вид
,
.
Соответственно можно показать, что
(4.23)
и
, где j = 1,2. (4.24)
Точка пересечения линий преобразования отыскивается таким же образом, как и в случае исходных линий:
.
Воспользовавшись выражениями (4.23) и (4.24), получим
. (4.25)
Возвращаясь теперь к точке пересечения [хj yj] исходных линий и применяя уже полученную матрицу преобразования, имеем
(4.26)
Сравнение уравнений (4.25) и (4.26) показывает, что они одинаковы. Итак, точка пересечения преобразуется точно в другую точку пересечения.