- •Инженерная геометрия
- •Часть 3
- •Краткое содержание конспекта лекций
- •Часть 1
- •Часть 2
- •Часть 3
- •Оглавление Введение 5
- •Введение
- •4. Элементы вычислительной геометрии
- •4.1. Геометрические преобразования на плоскости
- •4.1.1. Преобразование точек и линий
- •4.1.1.1. Изображение и преобразование точек
- •4.1.1.2. Преобразование прямых линий
- •Пример 1. Средняя точка прямой
- •4.1.2. Преобразование параллельных и пересекающихся прямых
- •Пример 2. Пересекающиеся прямые
- •4.1.3. Преобразование: поворот, отражение, масштабирование
- •4.1.3.1. Поворот
- •4.1.3.2. Отражение
- •Пример 3. Отражение и вращение
- •4.1.3.3. Масштабирование
- •Комбинированные преобразования
- •4.1.5. Преобразование единичного квадрата
- •4.1.6. Однородные координаты
- •4.1.6.1. Геометрическая интерпретация однородных координат
- •Пример 6. Проецирование в однородных координатах
- •4.1.6.2. Геометрическая интерпретация пропорционального масштабирования
- •4.1.6.3. Точки бесконечности в однородных координатах
- •4.1.7. Перемещения
- •4.1.7.1. Поворот вокруг произвольной точки
- •Пример 7. Поворот относительно произвольной точки
- •4.1.7.2. Отражение относительно произвольной прямой
- •Пример 8. Отражение относительно произвольной прямой
- •4.1.8. Правило выполнения преобразований
- •4.2. Пространственные преобразования
- •4.2.1. Трехмерное масштабирование
- •4.2.2. Трехмерное вращение вокруг осей координат
- •4.2.3. Поворот вокруг оси, параллельной координатной оси
- •4.2.4. Поворот вокруг произвольной оси в пространстве
- •4.2.5. Отражение в пространстве
- •4.2.6. Аффинные и проективные преобразования
- •4.3. Плоские и пространственные кривые. Поверхности
- •4.3.1. Представление плоских кривых
- •4.3.1.1. Непараметрические кривые
- •4.3.1.2. Параметрические кривые
- •Непараметрический вид
- •4.3.2. Представление пространственных кривых
- •4.3.3. Представление поверхностей
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Рекомендуемый библиографический список
- •Учебное издание
- •Инженерная геометрия
- •Часть 3
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
4.3.3. Представление поверхностей
Возможно самым простым способом создания трехмерной поверхности является вращение двумерного объекта, например прямой или плоской кривой вокруг оси в пространстве. Такие поверхности называются поверхностями вращения. Сначала для простоты предположим, что ось вращения совпадает с осью х и положительно направлена. Предположим также, что объекты вращения – отрезок, прямая или плоская кривая – лежат на плоскости ху. Далее рассмотрим метод, позволяющий избавиться от этих ограничений.
Самый простой объект, который можно вращать вокруг оси – это точка. При условии что точка не лежит на оси, вращение на угол 2 (360º) породит окружность. Поворот на меньший угол даст дугу окружности.
Следующим по сложности является отрезок, параллельный, но не совпадающий с осью вращения. Вращение на угол 2 (360º) породит в этом случае круговой цилиндр. Радиусом этого цилиндра является длина перпендикуляра, опущенного с отрезка на ось вращения. Длина цилиндра равна длине отрезка. Пример изображен на рис. 4.24.
Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок не параллелен оси вращения, то в результате вращения вокруг оси на угол 2 (360º) будет получен усеченный круговой конус. Радиусы оснований усеченного конуса – длины перпендикуляров, опущенных с концов отрезка на ось вращения. Высота конуса – это длина спроецированного на ось вращения отрезка. Пример изображен на рис. 4.25.
Если отрезок и ось вращения компланарны и отрезок перпендикулярен оси вращения, то в результате вращения на угол 2 (360º) будет получен плоский диск. Если отрезок пересекает (или касается) ось вращения, то получится сплошной диск, в противном случае диск будет иметь круглое отверстие. Примеры изображены на рис. 4.26.
И наконец, если отрезок наклонен к оси вращения, т. е. некомпланарен, то вращение на угол 2 (360º) породит однополостный гиперболоид.
Рис. 4.24
Рис. 4.25
Рис. 4.26
Если вместо окружности подставить параметрическое уравнение центрального полуэллипса, расположенного в плоскости ху, получится эллипсоид вращения рис. 4.27, б.
Напомним параметрическое уравнение полуэллипса:
,
(4.69)
Для любой точки эллипсоида параметрическое уравнение:
,
, . (4.70)
Рис. 4.27
При a = b = r уравнение (4.70) превращается в уравнение для сферы. Если ось вращения не проходит через центр окружности или эллипса, то в результате вращения получается тор с сечением в виде окружности (рис. 4.28, а) или эллипса соответственно (рис. 4.28, б).
а б
Рис. 4. 28
Параметрическое уравнение эллипса на плоскости ху с центром, не совпадающим с началом координат, выглядит так
,
где (h,k) – это х, у – координаты центра эллипса, тогда параметрическое уравнение для любой точки тора имеет вид:
, (4.71)
где 0 ≤ θ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ 2π. Если a = b =r, то уравнение (4.71) задает тор с сечением в виде окружности. Если a ≠ b, то получится тор с сечением в виде эллипса. На рис. 4.28 представлены оба типа торов.
Параболоид вращения получается при вращении параметрической параболы
, ,
(4.72)
вокруг оси х. параметрическая поверхность задается уравнением
, (4.73)
,
Гиперболоид вращения получается при вращении параметрической гиперболы
, ,
. (4.74)
вокруг оси х. Параметрическая поверхность задается уравнением
, (4.75)
, .
Для создания поверхности вращения можно использовать любую параметрическую кривую, например кубический сплайн, параболический сплайн, кривую Безье и В-сплайн.
Более подробно конструирование точечных каркасов поверхностей по заданным конструктивным условиям, полигонной поверхности Безье, В-сплайн поверхности третьего порядка, а также интерполирующей поверхности Кунса по заданному криволинейному контуру рассматривается в специальных разделах дисциплины «Геометрическое моделирование в САПР».