8) Моделирование ансамбля реализаций. Частотно-временное представление сигналов.

Нормальный шум (стационарный нормальный случайный процесс)

Плотность распределения:

det p – характеризует обобщённую дисперсию, а √det p – коэффициент разброса

Особенность норм шума – распределение любого порядка полностью определяется первыми 2мя моментами: средним и ковариационной функцией, т.е. плотность совместного распределения равна:

– произведение плотностей норм распределения независимых составляющих

Частотно-временное представление сигналов

Из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот (спектром) длятся бесконечно долго. На практике это не выполняется. Чтобы учесть это используется энергетический критерий точности: сигнал считается имеющим конечную длительность ∆Т, если в этом интервале сосредоточена основная часть всех энергий функции x(t). В тоже время и ширина спектра сигнала ∆F определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектра x(t).

, где μ<1

(1-μ) – косвенно характеризует точность реализации, т.е. энергетический критерий позволяет ограничить площадь на плоскости частота-время.

Уменьшить эту площадь можно лишь до некоторого предела. Этот предел достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовским импульсом.

Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала на плоскости частота-время называется принципом частотно-временной неопределенности сигналов.

9) Дискретное представление сигналов.

Любой сигнал можно представить состоящим из более простых компонент. В математике этому соответствует разложение функций в ряды и интегралы. Теория сигналов непрерывной функции можно представить в виде дискретного набора элементарных функций:

Разложение сигнала x(t) по координатным функциям. Если координатные функции ортогональны и нормированные, т.е. удовлетворяют условиям:

То умножив x(t) на φ_i(t) и проинтегрировав:

, где C_i – коэффициенты ряда Фурье

Для разложения реализации случайного процесса, с ограниченной полосой частот используется теорема Котельникова (теорема отсчетов): любая функция со спектром в интервале [0;T] полностью определяется последовательностью отсчетов её значений, в точках отстоящих друг от друга на 1/2F единиц времени.

Применяя разложение в ряд Фурье к спектру:

10) Математические схемы непрерывно-детерминированных систем (d-схемы)[dynamic]

Модели: дифференциальные уравнения обыкновенных или частных производных, обычно в качестве переменных используется t.

f(y,t) – вектор-функция, определенная (n+1)-мерным пространством (y,t)

m_m l_m ² [d²θ(t)/dt²] + m_ml_mgθ(t)=0

период колебаний

Пусть h₀ =m_ml²; h₁<0; h₂ = m_ml_mg

θ(t)= z(t) состояние

(t) – входное воздействие

(t)- сигнал ошибок

- управление воздействия

(t) – состояние

(t)- возмущение воздействия

y(t) – выходной сигнал. Обычно y(t)=z(t)

Задача системы управления – изменение y(t) согласно x(t) с определенной точностью.

Пример: одноканальная система S автомат управления описывается D–схемой общего вида

F(yⁿ , y^n-1, … , y, x^m, x^m-1, … , x)=0, где x^m и yⁿ производные n –ого и m-ого порядка. Пусть x₀(t)- задан. вход. перемен., y₀(t) – решение этого ур-я

∆x(t)=x(t) - x₀(t), ∆y(t)= y(t)- y₀(t); ,

т.к. решается для фикс. значений x₀ y₀ получим

Предполагается, что возмущение совпадает с входным сигналом