14) Марковский процесс с дискретным состояние и непрерывным временем.

Состояния: S1, S2… Sn переход в любое время

Pi(t) – вероятность того, что в момент t система в состоянии Si

Необходимо определить для любого t P1(t), P2(t), …, Pn(t). Чтобы их определить, необходимо знать характеристики процесса, аналогичные переходным вероятностям для дискретной Марковской цепи. Для непрерывной цепи Маркова используются плотности вероятностей перехода

- вероятность отсутствия перехода за Δt.

Тогда

Аналогично для P2():

Интегрирование уравнений даст P1(t)… Pn(t) с нач условиями

В t=0 p(t)=(1,0,0,0).

В правой части уравнения столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка из состояния, то член со знаком минус, иначе плюс.

Каждый член равен произведению с соответствующими i и j, умноженному на Pi(t) (справедливо для всех непрерывных Марковских процессов)

15) Простейший поток событий. Пуассоновский поток.

Свойства потоков:

Стационарность – поток называется стационарным, если вероятность появления того или иного числа событий на элементарном участке τ, зависит только от его длины, и не зависит от того, где он расположен на временной оси. Стационарность обозначает однородность времени.

Отсутствие последействия – поток называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий на одном не зависит от числа событий на другом.

Ординарность – поток событий называется ординарным, если вероятность попадания 2-х или более событий на элементарный участок пренебрежимо мало, по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Пуассоновский поток – поток, не имеющий последействия и ординарен.

Число событий, попадающих на любой участок распределено по закону Пуассона. Вероятность попадания k событий на участок τ задается формулой Пуассона: , где a – среднее число событий на τ, для стационарного потока a=λτ.

Характеристика потока:

1. Закон распределения случайной величины Т – интервалы емжду соседними событиями в потоке F(t)=P(T<t), вероятность того, что на t попадет хотябы 1 событие F(t)=1-P₀; P₀=e^-λτ/

2. Числовые характеристики:

   1. Мат. ожидание

   2. Дисперсия

   3. Среднеквадратическое отклонение

16) Процессы размножения и гибели. Поток Эрланга.

Процессы размножения и гибели – разновидность непрерывных марковских цепей, у которых граф состояний и переходов имеет вид:

Все состояния вытянуты в цепочку, в которой каждая из средних связана прямо и обратной связью с каждым из соседних.

В стационарном режиме:

S1:P1λ12=P2 λ21 S2: P2 λ21+P2 λ23=P1 λ12+P3 λ32

Предельная вероятность P1:

Поток Эрланга:

Эрланговский поток событий – последовательность заявок, получаемая из пуассоновского потока, путем выполнения операции просеивания. Используется параметр – порядок закона Эрланга(k).

Если k=3, то из пуассоновского потока выбирается каждое 3-е событие, и формируется поток Эрланга 3 порядка. Простейший поток – частный случай потока Эрланга, а именно поток Эрланга 1 порядка.

Количественные характеристики:

1. Мат. ожидание

2. Интенсивность потока Эрланга

3. Дисперсия

4. Среднее отклонение