- •1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:
- •2.Действия над матрицами.
- •3.Обратная матрица. Пример.
- •7.Линейные операции над векторами.
- •8.Скалярное произведение векторов. Свойства.
- •12.Смешанное произведение векторов.
- •13.Функция. Основные понятия.
- •14.Пределы числовой последовательности.
- •17.Бесконечно малые функции и их свойства.
- •18. Бесконечно-большие функции и их свойства.
- •19. Основные теоремы о пределах.
- •20. Первый замечательный предел.
- •21. Второй замечательный предел.
- •23.Точки разрыва.
- •26.Таблица производных.
- •27.Основные прав ила дифференцирования.
- •Производная обратной функции
- •29.Дифференциал функции и его основные свойства.
- •30. Теоремы о дифференцируемых функциях.
- •31.Правило Лопиталя.
- •Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .
- •35.Прямая на плоскости. Способы задания.
- •36. Плоскость. Способы задания.
- •38.Взаимное расположение прямых.
- •39.Эллипс и его характеристики.
- •40. Гипербола.
- •44.Таблица интегралов.
- •48.Интегрирование по частям.
- •50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:
- •Вычисление
- •58.Длина дуги.
50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:
приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки , где наибольшее общее кратное показателей корней .
Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа:
.
В этом случае также применяется подстановка , где, как и в рассмотренном выше случае, наибольшее общее кратное показателей корней .
Вычисление
Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:
Если , то ;
Если , то ;
Если ,
то .
Здесь - новая переменная.
Интеграл находится подстановкой .
Интеграл находится подстановкой .
Интеграл находится подстановкой .
Пример: Вычислить .
Применим подстановку Эйлера . Возводя это равенство почленно в квадрат, получим . Дифференцируя обе части полученного выражения, получим . Отсюда , или . Таким образом, . Поскольку , то . Следовательно, .
51-52. Интегрирование тригонометрических функций. Интеграл , где - рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки . При этом:
.
При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда , можно использовать подстановку .
В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению .
Если , можно использовать подстановку .
Если , то можно использовать подстановку .
53.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Интегральные суммы.Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , , . Точки , , , будем называть точками разбиения . Пусть - произвольная точка частичного сегмента , а - разность , которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .
Определение. Число , где:
называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .
Геометрический смысл интегральной суммы – площадь ступенчатой фигуры.
Введем обозначение .
Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного можно указать такое число , что для любого разбиения сегмента , для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек , на сегментах выполняется неравенство , т.е. .
Определение.: Функция называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:
.
Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок – интервалом интегрирования.
В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось , линии и , а также график функции .
О бозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте .
Определение: Суммы:
и
называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента .
Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения.
Свойства верхних и нижних сумм:
Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .
Если разбиение сегмента получено путем добавления новых точек к точкам разбиения этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и .
Пусть и - любые два разбиения сегмента . Тогда если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то и .
Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.
Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм .
Определение: Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции .
Пусть разбиение сегмента получено из разбиения добавлением к последнему новых точек, и пусть, если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и . Тогда для разностей и может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения , числа добавленных точек и точных верхней и нижней граней и функции на сегменте . Именно и .
Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу и от функции по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно, :
, , и при этом .
54. Свойства определенного интеграла. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):
.
Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
.
Пусть функции и интегрируемы на сегменте , тогда функции , и также интегрируемы на этом сегменте, причем:
.
Если функция интегрируема на сегменте , то функция ( =const) интегрируема на этом сегменте, причем:
.
Если функция интегрируема на сегменте , то эта функция интегрируема на любом сегменте , содержащемся в сегменте .
Пусть функция интегрируема на сегментах и . Тогда эта функция интегрируема на сегменте , причем:
.
55.Формула Ньютона-Лейбница. Из этих равенств вытекает соотношение:
,
которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона – Лейбница.
Пусть выполнены следующие условия:
1) Функция непрерывна на отрезке ;
2) отрезок является множеством значений некоторой функции , определенной на отрезке и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;
3) , .
При этих условиях справедлива формула:
Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Пусть функции и имеют непрерывные производные на сегменте . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:
.
Так как и , то эту формулу можно записать следующим образом:
.
56.Замена переменной в определенном интеграле.Теорема:Если функция f(x) непрерывна на[a;b],а x= (t) непрерывна на отрезке вместе со своей x'(t)= '(t) на [α;β],где x(α)= (α)=a,x(β)= (β)=b, то
57.Вычисление площади плоских фигур. Определение: Плоская фигура – часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой , при этом кривая называется границей фигуры .
Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру , если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре или ее границе.
Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры .
Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры многоугольника.
Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру многоугольников, а - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры многоугольников. Очевидно, что множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры многоугольника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).
Обозначим через точную верхнюю грань множества , через точную нижнюю грань множества .
Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры
Замечание: Нижняя площадь фигуры не больше верхней площади , т. е. .
Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число называется площадью фигуры .
Теорема: Для того чтобы плоская фигура была квадирируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, что разность площадей которых была бы меньше , .
Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции , ординатами, проведенными в точках и , и отрезком оси между точками и .
Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле:
.