- •1.Матрицы. Основные понятия. Прямоугольная таблица:
- •2.Действия над матрицами.
- •3.Обратная матрица. Пример.
- •7.Линейные операции над векторами.
- •8.Скалярное произведение векторов. Свойства.
- •12.Смешанное произведение векторов.
- •13.Функция. Основные понятия.
- •14.Пределы числовой последовательности.
- •17.Бесконечно малые функции и их свойства.
- •18. Бесконечно-большие функции и их свойства.
- •19. Основные теоремы о пределах.
- •20. Первый замечательный предел.
- •21. Второй замечательный предел.
- •23.Точки разрыва.
- •26.Таблица производных.
- •27.Основные прав ила дифференцирования.
- •Производная обратной функции
- •29.Дифференциал функции и его основные свойства.
- •30. Теоремы о дифференцируемых функциях.
- •31.Правило Лопиталя.
- •Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .
- •35.Прямая на плоскости. Способы задания.
- •36. Плоскость. Способы задания.
- •38.Взаимное расположение прямых.
- •39.Эллипс и его характеристики.
- •40. Гипербола.
- •44.Таблица интегралов.
- •48.Интегрирование по частям.
- •50.Интегрирование иррациональных функций. Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:
- •Вычисление
- •58.Длина дуги.
35.Прямая на плоскости. Способы задания.
О1:Условным коэффициентом прямой на плоскости называют тангенс угла наклона, образованного прямой с положительным направлением оси Ох. О2:Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида кх+в. О3: Нормальным вектором прямой называется вектор, перпендикулярный данной прямой. О4: Общим уравнением прямой называется уравнение вида ах+ву+с=0, где п=ав – есть координаты нормального вектора. О5: Направляющим вектором прямой называют вектор, паралльельный данной прямой.
Способы задания прямой на плоскости:
1.Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(Х0,у0) с заданным нормальным вектором М(а,в). А(х-х0)+В(у-у0)=0.
2.Уравнение прямой , проходящей через М0(х0,у0) , с заданным направляющим вектором q(м,п). – каноническое ур-е.
3.Через 2 заданные точки. , – параллельные уравнения.
4.Через точку М с заданным ус. коэффициентом к. y-y0=k(x-x0).
5.Ур-е прямой в отрезках.
36. Плоскость. Способы задания.
Всякая поверхность в пространстве задается в декартовых координатах уравнением вида .
Если ‑ многочлен -й степени, то соответствующая поверхность называется алгебраической поверхностью -го порядка или просто поверхностью -го порядка.
Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени:
|
(6.1) |
определяет плоскость. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.
Вектор , координатами которого являются коэффициенты при в уравнении (6.1), перпендикулярен плоскости (6.1) по свойству скалярного произведения векторов. Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор называют нормальным вектором плоскости (6.1).
Способы задания плоскостей.
Всякая поверхность 1-го порядка есть плоскость, т.е. всякое уравнение 1-й степени:
|
|
определяет плоскость. Уравнение (6.1) называется общим уравнением плоскости.
Вектор , координатами которого являются коэффициенты при в уравнении (6.1), перпендикулярен плоскости (6.1) по свойству скалярного произведения векторов. Этот факт будет постоянно использоваться в дальнейшем. Вектор называют нормальным вектором плоскости (6.1).
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно вектору , имеет вид:
|
(6.2) |
Очевидно, что уравнение (6.1) имеет смысл только тогда, когда хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.Рассмотрим частные случаи.
I. D ≠ 0.
Если , то уравнение определяет плоскость, параллельную оси , так как вектор нормали к этой плоскости перпендикулярен оси (проекция ненулевого вектора на ось равна нулю тогда, когда он перпендикулярен этой оси).
Аналогично, если , то уравнение определяет плоскость, параллельную оси .Если . То уравнение определяет плоскость, параллельную оси .Если , то уравнение или определяет плоскость, параллельную плоскости . В этом случае вектор нормали перпендикулярен к осям и , т.е. к плоскости .
При имеем или ‑ уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости .
Если , то уравнение или определяет плоскость, параллельную плоскости .
II. D = 0.
Если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки удовлетворяют этому уравнению.
Если , то уравнение определяет плоскость, вектор нормали которой . Эта плоскость проходит через ось .
Аналогично, если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через ось .
Если , то уравнение определяет плоскость, проходящую через ось .
Если , то уравнение или определяет плоскость . Аналогично, уравнения и определяют соответственно плоскости и .
Если в уравнении (6.1) все коэффициенты отличны от нуля, то это уравнение может быть преобразовано к уравнению плоскости в отрезках:
|
(6.3) |
Здесь ‑ величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.
37.Прямая в пространстве. Способы задания.
1.Каноническое ур-е прямой.
2.Параметрические уравнения прямой. ,
x=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt.
3.Через две заданные точки.
4. Общее уравнение прямой. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей. A=A1x+B1y+C1z+D=0,
N=(A1,B1,C1)? B=A2x+B2y+C2z+D=0? N2=(A2,B2,C2)