- •1. Предмет и содержание геодезии. Разделы геодезии
- •2. Понятие о форме и размере Земли
- •3.Системы координат применяемые в геодезии
- •4. Планы и карты. Виды масштабов. Точность масштабов. Топографические карты и планы.
- •5. Условные знаки топографических планов и карт
- •6. Влияние кривизны Земли на результаты измерений
- •7. Рельеф земной поверхности, его изображение. Крутизна ската. График заложения
- •8 Система высот в геодезии
- •9. Ориентирование линий. Дирекционные углы, азимуты, румбы, их связь
- •10. Номенклатура топографических карт
- •11 Прямая и обратная геодезические задачи
- •12. Виды измерений и погрешностей. Элементы теории погрешностей измерений
- •Арифметическое среднее
- •Средняя квадратическая погрешность измерений. Предельная погрешность.
- •Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин
- •Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего
- •13. Формулы Гаусса и Бесселя, случаи их применения.
- •18.Измерение вертикальных углов
- •19.Классификация нивелиров. Устройство нивелира н-3
- •20. Поверки и юстировки нивелира
- •21. Виды нивелирования. Способы геометрического нивелирования.
- •22. Линейные измерения: приборы, компарирование, порядок измерения, введение поправок
- •24. Тригонометрическое нивелирование
- •25. Виды геодезических съемок, классификация, этапы
- •26. Понятие о плановом и высотном съемочном обосновании
- •29. Теодолитная съемка, способы съемки, полевые документы
- •30 Тахеометрическая съемка: работа на станции, полевые документы
Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин
Рассмотрим функцию, представляющую собой алгебраическую сумму двух величин:
Z = x ± y,
Где x и y – независимые слагаемые.
Случайные погрешности слагаемых и их суммы при однократном измерении обозначим соответственно ∆x, ∆y, ∆z, тогда
z+ ∆z = (x+∆x) ± (y +∆y), откуда ∆z = ∆x + ∆y.
Если каждое слагаемое было измерено n раз, то, написав n соотношений (см выше) и возведя каждое в квадрат, получим n выражений:
Сложив левые и правые части n таких уравнений и разделив затем обе части равенства на n, получим:
где [∆Х∆Y] есть сумма произведений случайных погрешностей, которая согласно четвертому свойству случайных погрешностей стремиться к нулю при значительном числе измерений. Тогда, отбросив последнее слагаемое равенства, получим:
В соответствии с формулой можно написать: ,
Где mz, mх, my – средние квадратические погрешности функции и аргументов.
По аналогии для алгебраической суммы n независимых величин
Z= Х1±Х2±… ± Хn,
Можно записать
,
т.е. квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых.
В частном случае, когда
m1=m2=...= mn =m,
формула примет вид: mz = m ,
т.е. средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.
Например, если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит
Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего
Арифметическое среднее определяется выражением:
,
где - некоторое постоянное число. Если среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего обозначить через М, а среднюю квадратическую погрешность одного измерения через m, то согласно можно записать:
М2 = , откуда М = ,
Т.е. средняя квадратическая погрешность арифметического среднего в раз меньше средней квадратической погрешности одного измерения.
Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений. Например, требуется определить величину угла с точностью при наличии 30-секундного теодолита. Очевидно, что если измерить угол 4 раза и определить арифметическое среднее, то его средняя квадратическая погрешность согласно составит .
Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего М показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.
Общее арифметическое среднее и его средняя квадратическая погрешность
Общее арифметическое среднее для неравноточных измерений может быть определено по выражению:
- весовое среднее или общее арифметическое среднее.
Общее арифметическое среднее неравноточных измерений равно сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов.
Общие сведения о совместной обработке результатов измерений многих величин.
Принцип метода наименьших квадратов. Например, в треугольнике измеряют три угла, и их сумма будет отличаться от 1800. Для того чтобы устранить все невязки, оценить и повысить точность измерений, в геодезии выполняют специальную математическую обработку результатов измерений, которую называют уравниванием.
Форма представления результатов измерений.
Процесс измерения имеет две стороны: 1- значение физической величины (количественная сторона), 2- точность этого измерения (качественная сторона). Никакие измерения нельзя считать законченными, пока не оценена их точность. Если из измерений получены значения физической величины β = 23014'27,56'', и средней квадратической погрешности m=13,17'', то записать результат можно так:
β = 23014'28'', m=13''