11 Прямая и обратная геодезические задачи

Прямая и обратная геодезическая задачи решаются при съемке местности, при выносе проекта сооружения в натуру, в процессе обмеров архитектурных сооружений и пр.

В прямой геодезической задаче известны: координаты точки А- (Х_А, Y_А), расстояние между точками А и В - d (проекция на горизонтальную плоскость), а также дирекционный угол этой линии – α_АВ. Требуется определить координаты точки В – (Х_В, Y_В).

Разности координат двух точек называются приращениями координат ∆Х и ∆Y:

∆Х= Х_В – Х_А,

∆Y= Y_В – Y_А

Из решения прямоугольного треугольника АА₀В имеем:

∆Х= d cos α ,

∆Y= d sin α .

Знаки приращений координат зависят от знаков тригонометрических функций.

Обратная геодезическая задача состоит в определении расстояния между точками – d_АВ и дирекционного угла α_АВ, если известны координаты точек А и В: Х_А Y_А и Х_В Y_В.

Вначале вычисляются приращения координат ∆Х и ∆Y:

∆Х= Х_В – Х_А,

∆Y= Y_В – Y_А

Затем подсчитывается значение румба r и горизонтального расстояния (проложения) d:

tg r = ∆Y/ ∆Х, d=∆Х / соs r = ∆Y/ sin r

d=

Величина дирекционного угла зависит от того, в какой четверти расположена линия. Четверть устанавливается по знакам приращения координат и с учетом зависимости между румбом и дирекционном углом.

12. Виды измерений и погрешностей. Элементы теории погрешностей измерений

Измерением называют процесс сравнения измеряемой величины с другой, принятой за единицу измерения известной величины.

Точность измерений – качество измерений, определяющее близость их результатов к точному значению измеряемой физической величины.

Стандарт – критерий (показатель, мера) оценки точности результатов измерений.

Измерения различают:

1. Прямые измерения (простейшие – измерение длин линий землемерной лентой или рулеткой).

2. Косвенные – основываются на использовании некоторых математических зависимостей между искомыми и непосредственно измеряемыми величинами (площадь прямоугольника на местности определяют, измерив длины его сторон).

3. Дистанционные измерения основываются на использовании ряда физических процессов и явлений и, связаны с использованием современных технических средств: светодальномеров, электронных тахеометров, фототеодолитов и т.д.

На точность проводимых измерений влияют ряд факторов и условий: сам объект измерений, используемые единицы измерений, технические средства, технология и методы производства работ, состояние окружающей среды, опыт производителей и др. В связи с этим измерения, производимые в условиях, при которых все получаемые результаты можно считать одинаково надежными, называются равноточными и, наоборот, когда результаты нельзя считать одинаково надежными – неравноточными.

Измерения на местности являются важной частью всех геодезических работ. Любые измерения сопровождаются ошибками - погрешностями. Различают следующие виды ошибок (погрешностей): грубые, систематические и случайные. Грубые ошибки измерений или промахи должны быть выявлены и исключены. С этой целью выполняются повторные измерения и вычисления. Систематические ошибки возникают в результате влияние какой-то причины. Например, из-за неисправности инструмента. Источник систематической ошибки необходимо выявить и устранить.

Случайные ошибки являются следствием различных факторов. Закономерность возникновения случайных ошибок при небольшом ряде измерений не обнаруживается. Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результаты измерений прибегают к многократным измерениям, к улучшению условий работы и др.

Исследованиями установлены следующие свойства случайных ошибок:

1. по абсолютному значению они не превосходят определенной величины, соответствующей данным условиям измерений,

2. положительные и отрицательные случайные ошибки встречаются одинаково часто,

3. чем больше абсолютная величина случайной ошибки, тем реже она встречается в данном ряду измерений,

4. с увеличением числа измерений среднее арифметическое из случайных ошибок стремится к нулю.

Поведение случайных погрешностей в ряду равноточных измерений (их свойства) подчиняется закону нормального распределения Гаусса.

Если обозначить точное значение какой-либо величины через Х, а ее измеренное значение через l , то абсолютная величина случайной погрешности и ее знак определяется разностью:

∆=l – Х

Разность между результатом измерения некоторой величины l и ее истинным значением Х называют абсолютной (истинной) погрешностью.

Абсолютная погрешность не является исчерпывающе полным показателем точности выполненных работ. Например, если некоторая линия, фактическая длина которой составляет 1000 м, измерена землемерной лентой с ошибкой 0,50 м, а отрезок длиною 200 м – с ошибкой 0,20 м, то, несмотря на то, что абсолютная погрешность первого измерения больше второго, все же первое измерение было выполнено с точностью в два раза более высокой. Поэтому необходимо ввести понятие относительной погрешности:

ξ=∆/l

Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины ∆ к самой этой величине l называют относительной погрешностью.

Относительные погрешности ε всегда выражаются дробью с числителем, равным единице. Так, в приведенном выше примере относительная погрешность первого измерения составляет 1/2000, а второго – 1/1000.