66)Неоднородными дифференциальным урав. Второго порядка с постоянными коэффициентами наз. Уравнение вида , где p и q- постоянные, – функ., непрерывная на некотором множестве х.

Теорема Пусть y*= -некоторое частное решение исходного неоднородного уравнения, а

₀ = C₁ y ₁ (x) ₊ C ₂ y ₂ (x)- общее решение соответствующего однородного уравнения. Тогда у_общ =у₀ +у* -общее решение неоднородного урав..

Для нахождения частного решения у* можно использовать специальный вид правой части урав.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения , используя «метод неопределённых коэффициентов» по след. правилам:

1)Если F(x)=P(x), где P(x)-многочлен степени n, то соответствующее частное решение ищется:

а)в виде у*= Q(x),где Q(x) -многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, если ноль не явл. корнем характеристического урав.;

б) в виде у*=х^а Q(x),где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами , если нуль явл. корнем характеристического урав. кратности .

2)Если f(x)=P(x)e^mx ,то соответствующее частное решение находится:

а)в виде y*=Q(x)e^{mx,где ,} где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами , если м не явл. корнем характеристического урав. .

б) в виде у*=х^а Q(x) e^mx,где Q(x) - многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами , если м явл. корнем характеристического урав. кратности .

3)Если f(x)=e^ax (M , где М и N –const, то у* находится :

а) в виде у*= e^ax (А ,где А,В-постоянные,если числа

не явл.корнями характеристического уравн.

б) в виде у*= e^ax (А ,где А,В-постоянные,если числа

явл.корнями характеристического урав.

67)Числовым рядом наз.выражение, полученное последовательным сложением членов числовой последовательности т.е. й частичной суммой ряда наз.

Ряд наз.сходящимся, если сущ. конечный предел явл. суммой ряда; расходящимся, если Числа — члены ряда, — й или общий член.

Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда.Изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд сходится, то .

3. Если ряд сходится, то сходится ряд и имеет место равенство .

4. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд имеет место равенство

5. Если ряд сходится, то  . Отсюда следует Признак расходимости ряда. Если , то ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда.

Если ряд сходится, то (при )..

68).Признаки сходимости рядов с положительными членами

Пусть дан ряд все слагаемые кот. положительны .

Признак Коши. Пусть сущ. . Тогда если , то ряд сходится;

Если , то ряд расходится;

Если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя.

Признак Даламбера. Пусть сущ. . Тогда если , то ряд сходится;

Если , то ряд расходится;

Если , то о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя

69) Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, наз.знакопеременным.

Абсолютная и условная сходимость

Ряд наз.абсолютно сходящимся, если ряд также сходится. Если ряд сходится абсолютно, то он явл. сходящимся . Обратное утверждение неверно. Ряд наз. условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

70)Частным случаем знакопеременного ряда явл. знакочередующийся ряд, т.е. такой ряд, в кот. последовательные члены имеют противоположные знаки.

Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница. Пусть {a_n} явл. числовой последовательностью, такой, что

1. 1.a_n+1 < a_n для всех n;

2. 2.  .

Тогда знакочередующиеся ряды и  сходятся.

71)Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в кот. коэффициенты берутся из некоторого .

Теорема Абеля:

Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится при всех x так, что .

Пусть ряд расходится в точке , тогда он расходится при всех х так, что

Радиус сходимости:

Если , то ряд расходится, поскольку общий член ряда не стремится к 0. И наоборот.

72)

73)Применение рядов к приближённым вычислениям

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах.

Пример1.

Вычислить с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением Тогда = 0,0238+0,0046–0,0008≈0,7475≈0,748.

Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.