32) Односторонний предел

- предел функции в нек-рой точке справа или слева. Пусть f - отображение упорядоченного множества X(напр., множества, лежащего на числовой прямой), рассматриваемого как топологич. пространство с топологией, порожденной отношением порядка, в топологич. пространство Y и . Предел отображения f по любому интервалу наз. пределом слева отображения f и обозначают

(он не зависит от выбора ), а предел по интервалу наз. пределом справа и обозначают (он не зависит от выбора ). Если точка является предельной как слева, так и справа для множества определения функции f, то обычный предел

по проколотой окрестности точки х ₀ (в этом случае его наз. также двусторонним, в отличие от односторонних пределов) существует тогда и только тогда, когда в точке х ₀ существуют пределы слева и справа и они равны между собой.

33)Бесконечно малые величины и их св-ва

Функ. f(x) наз. бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .Бесконечно малой функ. может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Пример. Функ. f(x) = xⁿ явл. бесконечно малой при х0 и не явл. бесконечно малой при х1, т.к. .Теорема. Для того, чтобы функ. f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + (x),где (х) – бесконечно малая при х  а ((х)0 при х  а).

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНК. – функ. переменного х, к-рая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функ.f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функ. при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Аналогичным образом определяются

означает, что для любого М > 0 найдется такое δ = δ (M) > 0, что для всех z < - δ выполняется неравенство f(x) > M. Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изучению бесконечно малых функ., т. к. если f(x) есть Б. б. ф., то функция ψ (х) = 1/f(x) явл. бесконечно малой.

34)Непрерывность функции в точке.

Определение 1: Функ. f(x) наз. непрерывной функ. в точке A, если сущ. предел данной функ. при аргументе стремящимся к A и он равен f(a), т.е.

Критерий непрерывности:

Для любого сколь угодно малого числа эпсилон, сущ. такое число дельта, зависящее от эпсилон, что из того, что для любых иксов удовлетворяющих неравенству следует, что отличия значений функ. в данных точках будет сколь угодно мало.

Критерий непрерывности функции в точке:

Функ. будет непрерывна в точке A тогда и только тогда, когда она будет непрерывна в точке A и справа и слева, т.е чтобы в точке A сущест. два односторонних предела, они были равны между собой и равнялись значению функ. в точке A.

Определение 2: Функ.непрерывна на множестве, если она непрерывна во всех точках этого множества.